闭映射

数学领域术语

在数学的拓扑学中，闭映射是两个拓扑空间之间的映射，使得任何闭集的像都是闭集。所以f: X → Y是闭映射，如果X中的闭集在f下的像都为Y的闭集。

定义

在数学的拓扑学中，闭映射是两个拓扑空间之间的映射，使得任何闭集的像都是闭集。所以f:X→Y是闭映射，如果X中的闭集在f下的像都为Y的闭集。

闭映射的定义中，并不要求映射连续。与之比较，映射f:X→Y为连续映射的定义，是所有Y的开集的原像为X的开集，也可等价地定义为所有Y的闭集的原像为X的闭集。虽然闭映射的定义，似较连续映射为自然，但在拓扑学中其重要性不及连续映射。

闭映射的概念是由赫维茨(Hurewicz, W.)于1926年，亚历山德罗夫(Aoexcannpon, I1. C.)于1927年分别引人的。

例子

（1）定义连续函数f:R→R为f(x)=x，则f是闭映射，但不是开映射。

（2）任何同胚都是既开且闭及连续的。任何双射的连续映射是同胚，当且仅当映射是开映射，或等价地，当且仅当映射是闭映射。

（3）X上的恒等映射是一个同胚，故为既开且闭的。但如果X是Y的子空间，则仅当X在Y中为闭集时，从X到Y的包含映射是闭映射。故此映射的到达域需要指明，以辨别映射是否为闭映射。

（4）定义从[0,2π)到单位圆（视为R中的圆，原点为圆心）的函数：在[0,2π)中的θ所对应的值，是单位圆上与x轴成角度θ的点。这个函数是双射连续的，所以其从单位圆到[0,2π)的逆函数是既开且闭的。这个逆函数将紧致的单位圆，映射到不是紧致的区间[0,2π)。因此可见闭映射不保持紧致性，这点与连续映射不同。

（5）若Y有离散拓扑，则任何到Y中的映射都是既开且闭，但这映射未必连续。例如从实数集R到整数整Z的取整函数是既开且闭，但不是连续。

（6）对于任何拓扑空间的积X= ΠXi，由积拓扑的定义，其投射pi:X→Xi是开且连续的。不过这投射不一定是闭的：例如令p1:R→R是从R到x轴上的投射，并设A是函数f(x)=1/x的图像，即由全部形如(x,1/x)的点构成的集合。那么A是R中的闭集，但p1(A)不是x轴中的闭集。不过若Y为紧致集，则投射X×Y→X是闭映射。

性质

（1）一个映射f:X→Y是开映射当且仅当对X中每一点x及其任何（任意小的）邻域U，都存在f(x)的邻域V使得V⊂f(U)。因此若f将X的某个拓扑基中的元素都映射到Y的开集，则f是开映射。

（2）闭映射的定义，可用内部算子和闭包算子表达如下：

设f:X→Y是映射，f是闭映射，当且仅当对任何A⊆X，有f(A) ⊆f(A)。

（3）两个闭映射的复合是闭映射，

（4）两个闭映射的积未必是闭映射。（例如取前述的投射p1:R→R，视之为两个映射f和g的积，其中f是x轴上的恒等函数，g是从y轴到只包含点0的集合{0}的函数。f和g为闭映射，但p1不是。）

（5）一个双射是开的当且仅当其为闭的。一个连续的双射，其逆映射是双射的既开且闭映射，反之亦然。

（6）一个满射的开映射不一定是闭映射，同样一个满射的闭映射也不一定是开映射，

（7）设f是连续映射，且是开的或闭的，那么

（8）f为开或闭映射的条件，对前两项只是充分条件，对第三项也是必要条件。

特征定理

闭映射引理