开映射

数学术语

在泛函分析中，开映射是一类特殊的映射。如果巴拿赫空间之间的连续函数是满射的，那么它就是一个开映射(open mapping)。

简介

在泛函分析中，开映射是一类特殊的映射。如果巴拿赫空间之间的连续函数是满射的，那么它就是一个开映射(open mapping)。

如果X和Y是巴拿赫空间，A: X → Y是一个满射的连续线性算子，那么A就是一个开映射（也就是说，如果U是X内的开集，那么A(U)在Y内是开放的）。

该定理的证明用到了贝尔纲定理，X和Y的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设X或Y是赋范空间，那么定理的结论就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空间，那么定理的结论仍然成立。

性质

（1）从离散空间到离散空间的任何映射都是开映射；

证明：设为离散空间 X 到离散空间 Y 的映射，对 X 中任一开集 U，因为Y是离散空间，所以

是 Y 中的一个开集，即 f 是一个开映射。

（2）从平庸空间到离散空间的任何映射都是开映射；

证明：设 f: X→Y为平庸空间X到离散空间Y的映射，因为包含于Y，而Y为离散空间，所以和为 Y 中的开集，即f是一个开映射。

（3）设 X 和 Y 是两个拓扑空间，映射为同胚，则映射为一个开映射。

证明：设U是X的任意开集，由于映射为同胚，则也是同胚，因而是连续映射。对X的任意开集U，有为 Y 中的开集，从而为一个开映射。

（4）设X和Y是两个拓扑空间，映射为一一映射，若 f 为连续的开映射，则为同胚。

证明：欲证明为同胚，由已知条件，只需证明连续即可。对X中的任意开集U有。由于f为开映射，故为 Y 中的开集，从而说明连续。

这样即有如下结论：X和Y是两个拓扑空间，为同胚的充要条件是f为一一的连续开映射。

（5）设 X，Y 和 Z 是拓扑空间，映射和都为开映射，则也为开映射。

证明：设W为Z中的任意开集，由为开映射有为Y中的开集，再由为开映射得为 Z 中的开集．而，所以为 Z 中的开集，这就证明了为开

映射。

（6）设 X 和 Y 是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射，则Y的拓扑是相对于满射f而言

的商拓扑。

推论

（1）如果是巴拿赫空间X和Y之间的双射连续线性算子，那么反函数也是连续的。

（2）如果是巴拿赫空间X和Y之间的线性算子，且如果对于X内的每一个序列，只要且就有y = 0，那么A就是连续的（闭图像定理）。

开映射定理

开映射定理是指如果巴拿赫空间之间的连续函数是满射的，那么它就是一个开映射。

证明

我们需要证明，如果是巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么A就是一个开映射。为此，只需证明A把X内的单位球映射到Y的原点的一个邻域。

设U，V分别为X和Y内的单位球。那么X是单位球的倍数kU的序列的并集，k∈ N，且由于A是满射，

根据贝尔纲定理，巴拿赫空间Y不能是可数个无处稠密集的并集，故存在k > 0，使得A(kU)的闭包具有非空的内部。因此，存在一个开球B(c, r)，其中心为c，半径r > 0，包含在A(kU)的闭包内。如果v∈ V，那么c + rv和c位于B(c, r)内，因此是A(kU)的极限点，根据加法的连续性，它们的差rv是包含于的极限点。根据A的线性，这意味着任何都位于A(δ1U)的闭包内，其中δ =r/ (2k)。于是可以推出，对于任何和任何ε > 0，都存在某个，满足：

并且

x1| |且||y − A x1||<δ / 2。定义序列如下。假设：

并且

我们可以选择xn+ 1，使得：

且

因此xn+ 1满足。设

从第一个不等式可知，{sn}是一个柯西序列，且由于X是完备的，sn收敛于某个。序列趋于y，因此根据A的连续性，有Ax=y。而且：

这表明每一个都属于A(2U)，或等价地，X内的单位球的像A(U)包含了Y内的开球(δ / 2)V。因此，A(U)是Y内0的邻域，定理得证。

开映射定理的推广

X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完备性则是：当X和Y是F空间时，定理仍然成立。更进一步，这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合：

设X为F空间，Y为拓扑向量空间。如果是一个连续线性算子，那么要么A(X)是Y内的贫集，要么A(X)= Y。在后一个情况中，A是开映射，Y也是F空间。

更进一步，在这个情况中，如果N是A的核，那么A有一个标准分解，形如下式：