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闭图像定理

数学术语

闭图像定理是数学中泛函分析的一条定理。闭图像定理可以从开映射定理推导出来。

定理定义
设X，Y为巴拿赫空间，T：X Y为线性算子。定义T的图像为的子空间
Γ(T)={(x，T(x)) ，x X}。
赋予范数║(x，y)║X×Y=║x║X+║y║Y，使得成为巴拿赫空间。那么，这定理指T是连续的（与有界等价）当且仅当Γ(T)在内是闭集。
验证推导
闭图像定理可以从开映射定理推导出来。
Γ(T)是闭集的充分必要条件是如果序列{(xn，yn)}n包含于Γ(T)（即对任意n有yn=T(xn)），而(xn，yn) (x，y)，那么(x，y) Γ(T)，y=T(x)。如果T是连续的，从连续性立刻可知Γ(T)是闭集，因为连续性是更强的条件：如果xn x，则T(xn) T(x)。
如果Γ(T)是闭集，可以在Γ(T)定义线性算子
π1：Γ(T) X，x是(x，y)的一个逆像，
π2：Γ(T)Y，y是(x，y)的一个逆像。
显然║π2(x，y)║Y=║y║Y║(x，y)║X×Y，因此π2是有界算子。
Γ(T)是巴拿赫空间XY中的闭子空间，所以Γ(T)是巴拿赫空间。X也是巴拿赫空间，π1是双射，从而由开映射定理的系可知，其逆π1-1：XΓ(T)为有界算子，因为T=π2π1-1，故T也是有界的。
定理推广
从这定理可得出黑林格-特普利茨定理──希尔伯特空间上处处定义的对称线性算子是有界的。
泛化
闭图像定理可以通过以下方式推广到更抽象的拓扑向量空间：
当且仅当其图形在配备产品拓扑的X×Y空间中被关闭时，从圆筒空间X到Fréchet空间Y的线性运算符是连续的。
并且有一个不需要Y局部凸的版本：
如果两个F空间之间的线性映射图被关闭，则映射是连续的。
而闭图像定理的一般版本是：
假设X和Y是两个拓扑向量空间（它们不需要是Hausdorff或局部凸起），具有以下属性：如果G是任何闭合子空间，而y是任何连续映射 的G到X，那么你是一个开放的映射。 在这种情况下，如果是一个线性映射，其图形被关闭，则f是连续的。
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