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开映射定理

数理科学术语

在泛函分析中，开映射定理是一个基本的结果，它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。更加精确地：该定理的证明用到了贝尔纲定理，X和Y的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设X或Y是赋范空间，那么定理的结论就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空间，那么定理的结论仍然成立。

定义
设与为巴拿赫空间，为连续满射，则A为开映射。
结果
开映射定理有一些重要的结果：
1.如果 是巴拿赫空间X和Y之间的双射连续线性算子，那么逆算子 也是连续的。(Rudin 1973, 推论2.12) ；
2.如果 是巴拿赫空间X和Y之间的线性算子，且如果对于X内的每一个序列( )，只要xn → 0且 就有 ，那么A就是连续的（闭图像定理）。(Rudin 1973, 定理2.15)。
证明
我们需要证明，如果 是巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么 就是一个开映射。为此，只需证明 把 内的单位球映射到 的原点的一个邻域。
设 分别为 和 内的单位球。那么 是单位球的倍数 的序列的并集， ，且由于 是满射，
根据贝尔纲定理，巴拿赫空间 不能是可数个无处稠密集的并集，故存在 ，使得 的闭包具有非空的内部。因此，存在一个开球 ，其中心为 ，半径 ，包含在 的闭包内。如果 ，那么 和 位于 内，因此是 的极限点，根据加法的连续性，它们的差 是 的极限点。根据A的线性，这意味着任何 都位于 的闭包内，其中 。于是可以推出，对于任何 和任何 ，都存在某个 ，满足：
且 (1)
固定 。根据(!)，存在某个 ，满足 且 ||y−A x 1||<δ / 2。定义序列 如下。假设：
且
根据(1)，我们可以选择 ，使得：
且
因此 满足(2)。
设 从(2)的第一个不等式可知，是一个柯西序列，且由于是完备的，收敛于某个。根据(2)，序列趋于，因此根据A的连续性，有。而且：
这表明每一个都属于，或等价地，内的单位球的像包含了Y内的开球。因此，是内0的邻域，定理得证。
推广
或的局部凸性不是十分重要的，但完备性则是：当和是F空间时，定理仍然成立。更进一步，这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合(Rudin, 定理2.11)：
设为F空间，为拓扑线性空间。如果是一个连续线性算子，那么要么是内的贫集，要么。在后一个情况中，是开映射，也是空间。 更进一步，在这个情况中，如果是的核，那么有一个标准分解，形如下式：
其中是对闭子空间的商空间（也是空间）。商映射是开放的，且映射是拓扑线性空间的同构(Dieudonné, 12.16.8)。
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