一般空间微分几何学

学科名词

在19世纪中期，已经出现了黎曼几何。它是以定义空间两个邻点间的距离平方的二次微分形式为基础而建立起来的。20世纪以来，因受到广义相对论的影响，黎曼几何发展很快，从此产生了以更一般的曲线长度积分为基础的芬斯勒空间，以超曲面的面积积分为基础的嘉当空间,以二阶微分方程组为基础的道路空间和K展空间等等，而这些通称一般空间。

微分由来

一般空间微分几何学是在黎曼几何的研究取得巨大成功的基础上，由美国著名数学家道格拉斯在20世纪40年代中叶提出来的。由于黎曼几何在相对论中的重要应用，一般空间微分几何学作为黎曼几何学的扩充，一提出来就引起了人们的重视。

芬斯勒空间

设M是参考于一系坐标xi(i=1,2,…,n)的n维集合，并且它的曲线xi=xi(t)的“弧长”是按照积分定义起来的（其中，ρ＞0）。这时，称M为芬斯勒空间。特别是，当时，得到黎曼空间。P.芬斯勒(1918)在其学位论文中曾经把黎曼空间的一些结果拓广到这个空间来，但是它的微分几何到É.嘉当(1934)才逐渐趋于完整。例如，这个空间仿射联络的确定，曲率论的建立等研究，都是以后才发展起来的。仅仅要指出，芬斯勒空间的测地线（即上列积分的极值曲线）的微分方程具有如下的形式：式中是由F(x,凧)确定的某种函数组。　近年来，无限维的芬斯勒流形在非线性分析中有重要作用。

嘉当空间

在n维空间里，以(n-1)维超曲面领域的表面积概念为基础而构成的几何，称n维嘉当空间几何。设(x)=( x1,x2,…，xn)表示空间一点的坐标,(u)=(u1,u2,…，un)表示该点切空间的(n-1)维子空间的齐次坐标，(x，u)称为点(x)的超平面素。以B表示超平面素所成的一个区域，采用一个在B是正则的而且取正值的函数L（x,u），这里L关于ui是正齐一次的，L(x,ρu)=ρL(x,u)，(ρ＞0)，并约定,在超平面素(x,u)的(n-1)维表面积元素为　为了改写dO,设是光滑超曲面F的正则参数表示。从(n-1)×n矩阵删去第k行,而且用(-1)k+1pk表示这样得出的(n-1)阶行列式。那么,从上列的约定便导出一个在有向超曲面F的区域上的(n-1)重积分它表示了这个区域的“(n-1)维表面积”。　从基本函数 L（x，u）作且令α=det|αik|，嘉当的测度张量可表成这样，这种空间微分几何便有了发展的基础，特别重要的是研究面积积分的第一和第二变分，以及极值离差理论，即能保持极值超曲面的无穷小变形的方程。

K展空间

设在N 维空间SN里给定了一组K 维流形，使得组中有一个且仅有一个流形通过一般位置下的任何K+1个邻近点，或者和任何一个已知的K维元素（按照一点和其衔接的K维平坦流形组成的元素）相切。这些K维流形简称K展,具有这种结构的N维空间SN称K展空间。特别是，当K=1时，SN就是道路空间。　设(xi;i=1,2,…,N)是SN的一点的坐标,那么每个K展可表成或简写为,式中各函数是变数u和参数α的解析函数（或充分光滑的函数）。从定义易知如果由K展的表达式消去参数α,便获得仿射K展空间的偏微分方程组式中函数是p的齐二次函数。　根据J.道格拉斯导进一个仿射联络到仿射 K展空间SN：　从而把上列偏微分方程组改写成。从这个仿射联络不但可以导出仿射曲率张量,还可作出射影联络以及有关的偏微分方程组的可积分条件，还可证明；嘉当的“平面公理”的成立与空间为射影平坦是等价的。

参考书目：步青著：《一般空间的微分几何学》，科学出版社，北京，1958。

谷超豪院士

谷超豪，浙江温州人，1948年毕业于浙江大学，1959年获苏联莫斯科大学物理数学科学博士学位，复旦大学教授、数学研究所所长。曾任中国科学技术大学校长。在微分几何、偏微分方程和数学物理等方面的研究成果突出，获第二届华罗庚数学奖。主要从事偏微分方程、微分几何、数学物理等方面的研究和教学工作，又致力于大学的行政领导工作，均取得重要成就。在一般空间微分几何学、齐性黎曼空间、无限维变换拟群、双曲型和混合型偏微分方程、规范场理论、调和映照和孤立子理论等方面取得了系统、重要的研究成果。创建了高维、高阶混合型方程的系统理论。在规范场的数学结构、高维时空的孤立子理论研究方面取得重要进展。1980年当选为中国科学院院士 (学部委员)。

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