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芬斯勒流形

比黎曼流形更广泛的度量空间

芬斯勒流形(Finsler manifold)亦称芬斯勒空间，是一种比黎曼流形更广泛的度量空间。像黎曼流形一样，芬斯勒流形的两点之间的距离定义为连接这两点的曲线弧长的下确界。关于这个距离，芬斯勒流形是度量空间，度量拓扑和原来微分流形拓扑一致，黎曼流形作为度量空间的许多性质可以推广到芬斯勒空间。

基本介绍
芬斯勒流形(Finsler manifold)亦称芬斯勒空间，是一种比黎曼流形更广泛的度量空间。设是微分流形的一个坐标系，是一条曲线，定义它的弧长为
其中是芬斯勒度量函数，这样的微分流形称为芬斯勒流形。是黎曼度量
的推广。像黎曼流形一样，芬斯勒流形的两点之间的距离定义为连接这两点的曲线弧长的下确界。关于这个距离，芬斯勒流形是度量空间，度量拓扑和原来微分流形拓扑一致，黎曼流形作为度量空间的许多性质可以推广到芬斯勒空间。黎曼(Riemann，G.F.B.)曾经考虑过以这样一般化的度量为基础讨论流形，但是他认为用黎曼度量更为适当，芬斯勒( Finsler，P.)于1918年在学位论文中系统地研究了这种推广的度量，把经典的曲线和曲面论中许多概念和定理推广过来，嘉当(Cartan，E.)于1933年引进联络并得到许多重要结论才使芬斯勒流形几何理论逐渐完整，陈省身于1990年发现了一个新联络，使芬斯勒几何的发展推向一个新阶段，尤其是成功地开展了整体芬斯勒几何的研究，芬斯勒空间是对线素赋予度量的一种微分流形，作为对偶的概念有嘉当空间，它对超平面素赋予度量，进一步的推广还有道路空间和K展空间等，统称为一般空间。芬斯勒流形几何理论在广义相对论和其他物理学领域中有许多应用，近年来无限维芬斯勒流形在非线性分析中有重要作用。
芬斯勒度量
芬斯勒度量(Finsler metric)是黎曼度量的一种推广。若是n维微分流形，是的切丛，上的芬斯勒度量是定义在切丛上满足下列条件的连续的实值函数F：设是上局部坐标系，是的点的局部坐标，其中是的点x的局部坐标，是在x的切向量y的分量，即
则：
1.在可微；
2.对任意实数
3.以
为元素的矩阵是正定的。
此时，称为芬斯勒空间，函数F也称为芬斯勒空间的度量函数.以为分量的张量称为的度量张量或基本张量，称为基本形式.当是的二次齐式时，
这个芬斯勒度量是黎曼度量，微分流形上存在芬斯勒度量的充分必要条件是它为仿紧的。
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