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三对角矩阵

数学术语

在线性代数中，三对角矩阵是矩阵的一种，它“几乎”是一个对角矩阵。准确来说：一个三对角矩阵的非零系数在如下的三条对角线上：主对角线、低对角线、高对角线。在许多物理问题中，三对角矩阵常常作为原始数据出现，因此它们本身是很重要的，这种矩阵仅有（2n-1）个独立的元素。由三对角矩阵确定特征值由一些较有效的方法，常见的有两种：QR法、特征多项式法。

定义
形如
的n×n矩阵A称为三对角矩阵，其中第(i,j)个元素在j>i+1和j
三对角矩阵的建立
分析矩阵特点
三对角矩阵M是一个对角矩阵，当且仅当 时，有M(i,j)=0。在一个nxn的三对角矩阵T中，非0元素排列在如下的三条对角线上：
（1）主对角线即i=j；
（2）主对角线之下的对角线（称低对角线）即i=j+1；
（3）主对角线之上的对角线（称高对角线）即i=j-1。
这三条对角线上的元素总数为3n-2，故可以使用一个拥有3n-2个位置的一维数组来描述T，因为仅需要存储三条对角线上的元素。
矩阵实例
考察如下所示的4×4三对角矩阵：
三对角矩阵上共有10个元素，如果把这些元素逐行映射到t中，则有t[0:9]=[2,1,3,1,3,5,2,7,9,0]；如果逐列映射到t上，则有t[0:9]=[2,3,1,1,5,3,2,9,7,0]；如果按照对角线的次序（从最下面的对角线开始）进行映射，则有t[0:9]=[3,5,9,2,1,2,0,1,3,7]。
建立该三对角矩阵的程序
利用Store函数把传入的x值存储在相应的三对角矩阵中，并通过switch语句判断其所在位置。具体程序如下：
确定三对角矩阵的特征值
QR法
QR法对于三对角矩阵来说是很好的，在这个方法中，矩阵被分解成以下形式： ，其中 是正交矩阵， 是上三角矩阵。产生如下的矩阵序列：将 化成乘积形式 ，则 定义为 。
一般来说，对于 化成 ，其中 是正交矩阵， 是上三角矩阵，则 被定义为 和 以相反次序乘积式，即 。因为 是正交矩阵， 。 是对称的，与 有相同的特征值。我们定义和成这样的形式：是三对角矩阵，最终趋于变为对角阵，其对角线上的元素给出原矩阵的特征值。
特征多项式法
特征多项式法可以像特征多项式的根一样确定特征值。有一种有效的方法来构造三对角矩阵的特征多项式。使用符号法可以求特征值的归类，从而形成一个Sturmian序列。然后用对分法或试位法来求精确的特征值。由Householder变换得到的对称三对角矩阵的特征多项式为：
其中，i=1,2,...,n，有：
从向前的Sturm序列可以表示为：
因此，有
实例
求下述三对角矩阵的特征多项式：
解：把该矩阵与特征多项式的一般形式作比较，则有
比较这两个矩阵，得到
在的表达式中代入和的值并化简，得到：。
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