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三角方程

数学概念

一般指含有某些三角函数的方程，这些三角函数的自变量中含有未知数，含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

定义
一般指含有某些三角函数的方程，这些三角函数的自变量中含有未知数，含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
三角方程是三角中的重要内容，在解三角方程过程中，运用的知识比较广泛，不仅要用到三角中的许多定理与公式，还要涉及代数式的变形与代数方程等代数知识，最简单的三角方程实际上是由某角的三角函数值求角问题的延伸，是三角函数的周期性和反三角函数概念的最直接运用。
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解题方法
套用通解公式
把一般的三角方程转化为最简单的三角方程，其中要应用到三角函数性质及图像、反三角函数、诱导公式等知识。
一是要掌握其基本方法，要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；会用数形结合的思想和 函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。通过解三角方程，可以进一步理解三角函数及反三角函数，进一步提高三角变换能力。
二是要合理选用公式和变换方法。
基本转化方法
（1）化为同角、同名的三角函数；
（2） 因式分解法；
（3）化为 和 齐次方程求解；
（4）引入辅助角；
（5）利用三角函数定义求解；
（6）利用比例性质；
（7）利用升降次法；
（8）利用 换元法；
（9）利用万能置换法。
通过解三角方程，进一步理解三角函数及反三角函数，进一步提高三角变换能力。
通解
1．若 , 则 .
2．若 ，则 .
3．若 ，则 .
4．若 ，则 .
5．要使方程 有解，则 的取值范围是 .
6．方程 在 上有两解，则 的取值范围是 .
三角方程举例
形如 的方程叫做最简三角方程。
解三角方程
首先，明确一下反正弦函数： 表示一个在 范围内的角，且其正弦值为 （ 在 ），即
解：由 ，知 ，且
即 ，即
则 或
解得： ,或 ,其中
又 ，对 赋值只有 , , 三个满足
即解集为
注：反三角函数转化为三角函数来解
例如，形如 或者 或者 或者 的方程，这里ƒ是有理函数，可用一种万能公式，令 或者 或者 或者 然后用这个代入原方程，即可得到关于t的有理方程。用这个万能方法，可以求出除了形如 以外的方程的所有解。不能用精确解法来解的三角方程，可以用近似方法求解。
最简三角方程
亦称基本三角方程.含有未知角的基本三角方程。若f(二)是基本三角函数，则 称为最简三角方程.凡能用初等方法求解的三角方程，一般都可以通过恒等变换或代数方法归结为解一个或几个这样的最简三角方程，它们的解集的交或并就是原方程的解.现将这些最简三角方程的解集列表如下：
三角公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：
设α为任意角， 的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
公式四：
利用公式二和公式三可以得到与α的三角函数值之间的关系：
公式五：
利用公式-和公式三可以得到与α的三角函数值之间的关系：
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