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三重积分

数学术语

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

定义
设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi（i=123…，n）并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点 作和 .如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f（x,y,z）在区域Ω上的三重积分，记为 ，即 ，其中dv叫做体积元素。
其中，∫∫∫称为三重积分号，f(x,y,z）为被积函数，f(x,y,z)dv称为被积表达式，dv称为体积元，x、y、z为积分变量，Ω为积分区域， 为积分和。
性质
线性性质
(1) (k为常数)，被积常数中的常数因子可以提到三重积分号外面。
(2)设α、β为常数，则 ，函数的和（或差）的三重积分等于各个函数的三重积分的和或差。
可加性质
如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。
不等性质
如果在G上，f(x,y,z)≤φ(x,y,z)，则有，特殊地，若函数f(x,y,z)在Ω上可积，则|f(x,y,z)|亦在Ω上可积，且有。
估值性质
设M、m分别为f(x,y,z)在闭区域G上的最大值和最小值，V为G的体积，则有mV≤≤MV。
积分中值定理
设函数f(x,y,z)在闭区域G上连续，V是G的体积，则在G上至少存在一个点 使得
。
另外由重积分的性质知，当f（M）=1时，三重积分 ，这里V（Ω）表示空间域Ω的度量，即V（Ω）表示Ω的体积。
计算方法
直角坐标系法
适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法
⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
①区域条件：对积分区域Ω无限制；
②函数条件：对f（x,y,z）无限制。
⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成
②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。
柱面坐标法
适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设
①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；
②函数条件：f（x,y,z）为含有与 （或另两种形式）相关的项。
球面坐标系法
适用于被积区域Ω包含球的一部分。
①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；
②函数条件：f（x,y,z）含有与 相关的项。
几何意义
三重积分就是四维空间的体积。
当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，三维空间质量值就等于其体积值。
当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。
应用
设Ω为空间有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上连续
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