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中位线

数学术语

中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线。

定义
三角形：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边，其长度为第三边长的一半，通过相似三角形的性质易得。其两个逆定理也成立，即经过三角形一边中点平行于另一边的直线，必平分第三边；以及三角形内部平行于一边且长度为此边一半的线段必为此三角形的中位线。但是注意过三角形一边中点作一长度为底边一半的线段有两个，不一定与底边平行。
梯形：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。梯形的中位线平行于上底和下底，其长度为上、下底长度和的一半，可将梯形旋转180°、将其补齐为平行四边形后易证。其逆定理正确与否与上相仿。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。
连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
概念
(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(2)梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连接一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
(2)梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连接两底中点的线段。
(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。
定理概述
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
如图，三角形两边中点的连线（中位线）平行于第BC边，且等于第三边的一半。
三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一。
证明
例题
如图1，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行且等于BC/2
法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF∥AD
∴∠BAC=∠ACF
∵在△ADE和△CFE中
AE=CE、∠AED=∠CEF、∠BAC=∠ACF
∴△ADE≌△CFE（ASA）
∴AD=CF DE=EF
∵D为AB中点
∴AD=BD
∵AD=CF、AD=BD
∴BD=CF
∵BD∥CF、BD=CF
∴BCFD是平行四边形
∴DF∥BC且DF=BC
∵DE=EF
∴在平行四边形DBCF中DE=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.
法二：利用相似证
∵D，E分别是AB，AC两边中点
∴AD=AB/2 AE=AC/2
∴AD/AE=AB/AC
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=1/2
∴DE=BC/2
法三：坐标法
设三角形三点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)
则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
另两边中点为((x1+x3)/2，(y1+y3)/2)，和((x2+x3)/2，(y2+y3)/2)
这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半
其他题目
已知：在△ABC中，中位线EF与中线AD相交于点O，
求证：AD与EF互相平分．
证明：连接DE、DF，
∵点D、E分别是BC、AB的中点，∴DE∥AC，
同理得 DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AD与EF互相平分．
逆定理
逆定理一：
如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
逆定理二：
如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2
【证法①】
取AC中点G ，连接DG
则DG是三角形ABC的中位线
∴DG∥BC
又∵DE∥BC
∴DG和DE重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）
(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用。
性质
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .梯形中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L。
l=（a+b）÷2
已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．
S梯=lh
中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。
证明
四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分别是AB、CD边上的中点，求证：EF∥AD，且EF=（AD+BC）/2
证明：
连接AF并延长交BC的延长线于G。
∵AD∥BC
∴∠ADF=∠GCF
∵F是CD的中点
∴DF=FC
∵∠AFD与∠CFG是对顶角
∴∠AFD=∠CFG
∴△ADF≌△GCF(AAS)
∴AF=FG，AD=CG
∴F是AG的中点
∵E是AB的中点
∴EF是△ABG的中位线
∴EF∥BG,EF=BG/2=(BC+CG)/2
∴EF=(AD+BC)/2
∵AD∥BC
∴EF∥AD∥BC
扩展
三角形三条中位线所构成的三角形与原三角形相似。
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