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中心单代数

数学的一个分支

代数是数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

概念
中心单代数(central simple algebra)亦称正规单代数。是结构较清楚的一类重要单代数。若域F上代数A的中心是F本身，则称A为中心代数(正规代数)。中心是F的F单代数称为中心单代数。每一个有单位元的单代数都是其中心上的中心代数，所以有单位元的单代数的研究可归结为对纯量扩张与中心单代数的研究。有限维单代数恒有单位元，所以恒为其中心上的中心单代数。然而域F上无限维单代数A未必有单位元，但此时A的形心是域，设为C，通常称A为C(特别地C=-F时)上中心单代数。当A有单位元时，A的形心就是A的中心。任何单环都是形心上中心单代数。
单代数
单代数跟单环有重要联系。单环是与群论中单群类相对应的基本环类。一个环(代数)R，若只有平凡理想(即除R和零理想外不含其他理想)，则称R为弱单环或单纯环(弱单代数)。弱单环(弱单代数)可分两类：一类是R2≠0，此类环(代数)称为单环(单代数)，它的幂零根为零；另一类是R2=0，R称为零乘环，它的幂零根是R本身。域F上的全矩阵环是单环，也是F上的单代数。F上有限维单代数必含单位元。
代数
代数是数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。参见，如： 布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES);四元数(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。
设K为一交换体。把K上的向量空间E叫做K上的代数，或叫K-代数，如果赋以从E×E到E中的双线性映射。换言之，赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构：
——记为加法的合成法则(x，y)↦x+y;
——记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;
——记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则;
这三个法则满足下列条件：
a) 赋以第一个和第三个法则，E则为K上的一个向量空间;
b) 对E的元素的任意三元组(x，y，z)，有
x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;
c)对K的任一元素偶(α，β)及对E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).
设A为一非空集合。 赋予从A到K中的全体映射之集ℱ(A，K)以如下三个法则：
则ℱ(A， K)是K上的代数， 自然地被称为从A到K中的映射代数.当A=N时， 代数ℱ(A，K)叫做K的元素序列代数。
无论是在代数还是在分析中，代数结构都是最常见到的结构之一。十九世纪前半叶末，随着哈密顿四元数理论的建立，非交换代数的研究已经开始。在十九世纪下半叶，随着M.S.李的工作，非结合代数出现了。到二十世纪初，由于放弃实数体或复数体作为算子域的限制，代数得到了重大扩展。
与外代数，对称代数，张量代数，克利福德代数等一起，代数结构在多重线性代数中也建立了起来。
中心单代数性质
性质1：根据Artin-Wedderburn定理，有限维简单代数A与某个分割环S的矩阵代数M（n，S）是同构的。因此，每个Brauer等价类中都有一个独特的分数代数。
性质2：中心单代数的每一个自相似性都是一个内在的自相似性（从Skolem-Noether定理得出）。
性质3：中心单代数作为其中心上的向量空间的维数总是一个正方形：度是该维度的平方根。中心简单代数的Schur指数是等价代数的程度：它只取决于代数的Brauer类。
性质4：中心单代数的时期或指数是Brauer类作为Brauer集团元素的顺序。这是指数的除数，两个数字由相同的因素构成。
性质5：如果S是中心单代数A的简单子代数，则dimF S分割dimF A.
性质6：场F上的每个四维中心单代数与四元数代数是同构的；实际上，它是一个二乘二矩阵代数，也可以是分数代数。
性质7：如果D是K的中心分数代数，其中阶数D具有素因子分解：
那么D有一个张量积分解：
其中每个分量Di是索引的中心划分代数，并且这些分量被唯一地确定为同构。
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