主元法

分解因式方法

所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解。

利用方式

较为简单的利用

1.因式分解(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.

分析：如果懂得因式定理的话，解此题自然会流畅很多，但是用主元法的话，也十分简便。

拆开原式,并按a的降幂排列得：

(b+c)a2+(b2+c2+2bc)a+b(bc+c2)

=(a+c)(b+c)(a+b)------------------------------【十字相乘法】

十字相乘图为

a--------------- b

(b+c)a -----bc+c2

对于低次因式分解，主元法与十字相乘法的配合是卓有成效的。

2.因式分解16y+2x2(y+1)2+(y-1)2x4

分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。

原式=(y-1)2x4+2(y+1)2x2+16y---------------------【主元法】

=(x2y2-2x2y+x2+8y)(x2+2)---------------------【十字相乘法】

十字相乘图为

(y-1)2x2 ----8y

x2------------2

如果能很好地利用主元法，低次因式分解就不会太难了。

高难度的主元法利用

1.因式分解2x3+6y3+15z3-9x2y+7xy2-x2z-16xz2-37y2z+32yz2+13xyz

分析：本题属于高难度因式分解中的中档题，如果不假思索就上边的方法，就会处处碰壁。

1.原式=2x3-(9y+z)x2+(13yz+7y2-16z2)x+6y3+15z3-37y2z+32yz2---------------【主元法】

这样本题的条理就清晰多了，现抛开x,只看6y3+15z3-37y2z+32yz2,

这是一个2元三次因式分解，难度简单多了。

原式=6y3-9zy2-(28y2z-32yz2-15z3)-------------------------【拆项法】

=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)

再代入原题目，接下来的工作就简单了。

由于首项x系数为2，所以本题难度综合来讲不是太难，算出系数2是与(y-5z)结合的。

所以原式=(x-2y+3z)(2x+y-5z)(x-3y-z)------------------------【拆项法及十字相乘法】

因式分解

竞赛类的学生，因式分解的高手可以演算一下,这是个很好的练习,对你们会很有帮助。

因式分解：

-12 m2 p2 + 10 m2 p x - 18 m p2 x + 12 m2 x2+ 15 m p x2 -6 p2 x2+ 18 m x3 + 5 p x3 + 6 x4 - 24 m2 p y - 6 m p2 y +10 m2 x y - 31 m p x y + 6 p2 x y + 21 m x2 y - 17 p x2 y -x3 y - 12 m2 y2 - 12 m p y2 + 36 p2 y2 - 13 m x y2 -18 p x y2 - 47 x2 y2 - 6 m y3 + 72 p y3 - 24 x y3 + 36 y4 +20 m2 p z + 6 m p2 z + 48 m2 x z + 25 m p x z + 66 m x2 z +10 p x2 z + 24 x3 z + 20 m2 y z + 22 m p y z - 30 p2 y z +49 m x y z + 15 p x y z + 16 x2 y z + 16 m y2 z - 120 p y2 z -129 x y2 z - 90 y3 z + 48 m2 z2 - 10 m p z2 + 6 p2 z2 +48 m x z2 - 5 p x z2 + 18 x2 z2 + 14 m y z2 + 62 p y z2+91 x y z2 - 88 y2 z2 - 24 m z3 - 10 p z3 - 24 x z3 +110 y z3 - 24 z4

终于，在其他方法都几乎失效时，主元法的威力体现了出来。

分析：看题目的确很长，但仔细观察也能发现其弱点。

1.没有常数项。

2.首项x的系数很小，预计其能分解成(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)的形式。

3.自开始起，一部分是6的倍数，紧接着是5的倍数，直到至-2zpmy这一项时，这个特点断掉了。

解题开始：

令x,y,z,p都为0，原式变成了--------2m2

令x,y为0，原式变成了---------------12p2m2

令x为0，原式=-12y3............................+12p2m2,此时正是用主元法的时候，

解得原式=(3y+4z+3p)(-2y+6z-2p)(2y-z+m)(-3y+z+2m)-----【主元法，拆项法，十字相乘法，提取公因式】。通过把上述的四项依次填入(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)中，实际上还是要用主元法，

原式=(2x+3y+4z+3p)(3x-2y+6z-2p)(x+2y-z+m)(x-3y+z+2m)

对于这题，硬碰硬是不行的。