主曲率

数学名词

过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率，其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值Kmax ，垂直于极大曲率面的曲率为极小值Kmin。这两个曲率属性为主曲率。他们代表着法曲率的极值。

简介

过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率，其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值，垂直于极大曲率面的曲率为极小值。这两个曲率属性为主曲率。他们代表着法曲率的极值。

曲率的分类

平均曲率、主曲率和高斯曲率是曲率的三个基本要素。

主曲率和主方向

对曲面S : r = r(u, v)上一给定点P0(u0, v0)，法曲率kn是切方向du : dv的函数，称法曲率的每个临界值(critical value)为曲面在这一点的主曲率；对应的方向称为曲面在这一点的主方向。

定理

定理1

曲面在非脐点处，两个主方向互相垂直。

定理2

曲面上一点由方程所确定的两个切方向互相垂直的充要条件是，这里E、F、G是曲面的第一类基本量。

证明：两个方向du:dv和δu:δv 正交的充要条件是

换一种写法即

将已知的二次方程写成

将是它的两个根，且均应满足上述方程，由根与系数的关系知

将上式代入式（1）即得引理。

定理3

曲面在非脐点处的主曲率是曲面在这点沿所有方向的法曲率中的最大值和最小值。

证明：设k1、k2 是两个主曲率，不妨设k1Euler公式

所以

即

同样的方法，可以证明kn≥ k1，即

这就是说，主曲率是法曲率的最大值和最小值。

高斯曲率

定义

两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称总曲率或全曲率，反映某点上总的弯曲程度。记为

高斯曲率k的绝对值有明显的几何意义。设Δб是曲面上包含P点的一小片曲面（其面积仍用Δб表示），把Δб上的每点的单位法向量n平移到E3的原点O处，那么n的终点的轨迹是以O为中心的单位球面S2上的一块区域 Δб* 。这个对应称为高斯映射。曲面在P点邻近弯曲程度可用Δб*( 其面积仍用Δб*表示）与Δб的面积比刻画。

曲面造型上的应用

因为高斯曲率实际反映的是曲面的弯曲程度，因此在三维CAD软件中都把高斯曲率分析作为分析曲面造型中内部

曲面质量和连接情况的主要依据。当曲面的高斯曲率变化比较大比较快的时候表明曲面内部变化比较大也就意味这曲面的光滑程度越低，而两个连接的曲面如果在公共边界上的高斯曲率发生突变就表示两个曲面的高斯曲率并不连续，通常也叫曲率不连续，说明两个曲面的连接没有到达G2连接质量。

在三维CAD软件中，通常都是使用曲面表面的颜色分布和变化来表示曲面高斯曲率的分布，比如ProE软件便是如此，通过这些颜色的变化就可以直观地知道曲面的高斯曲率的变化，而颜色的突变就表示高斯曲率的突变。

平均曲率

定义

称(k1 + k2)/2为曲面在一点处的平均曲率，记为

它描述了曲面在一点处的平均弯曲程度，又称为中曲率。

根据韦达定理，由主曲率的计算公式，易知

推论

曲面在椭圆点处K > 0，双曲点处K < 0，抛物点处K = 0。

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