乘子

数学术语

乘子（multiplier）亦称乘数，是一类特殊的自同构。设D为群G的一个(v，k，λ)差集，G的运算以加法记，α为G的一个自同构。若存在a，b∈G，使Dα=a+D+b，则称α为D的乘子。当α为零元时，称α为右乘子；当G为阿贝尔群时，若存在整数m，使α为映射x→mx，则称α为一个数值乘子，有时也称m为数值乘子。

定义

1.D的所有乘子成为一个群，而所有右乘子为这个群的子群。

2.当G是阿贝尔群时，所有的乘子为右乘子；当G是循环群时，所有的乘子为数值乘子。

3.当D为阿贝尔差集时，D的一个乘子必固定D的某个平移。利用这个性质及乘子定理（见下文）可以构造某些差集及证明某些差集的不存在性。

举例

例如，{1,3,9,5,4}是Z11中的（11,5,2）差集，m=3是它的一个数值乘子。

乘子定理

乘子定理（multiplier theorem）是用来判别差集乘子存在性的定理。乘子定理有多种形式，以下的乘子定理也称为第二乘子定理。

第二乘子定理设D是v阶阿贝尔群G的（v，k，λ）差集，m是n=k-λ的一个与v互素的因子，且m>λ。若整数t与v互素，使得对m的每个素因子p存在相应的非负整数f，适合t≡pf(mod v*)，其中v*为G的指数，即使xe=1对G中一切x成立的最小正整数e，则G的自同构x→xt是D的数值乘子。

该定理由曼（Mann，H.B.）于1965年得到。当G为循环群且λ=1时的较早形式由霍尔（Hall M.Jr.）得到。由于阿贝尔差集D的乘子必固定D的某个平移，所以，可由乘子定理做出一些差集或证明某些参数的差集不存在。例如，可做（11,5,2）循环差集如下：设这样的差集存在，则3是D的一个数值乘子，不妨设3固定D，则D必为循环群Z11的元素在自同构x→3x作用下的某些轨道的并，而Z11的元素轨道为{0}，{1,3,9,5,4}及{2,6,7,10,8}。于是，两个轨道均是Z11中的（11,5,2）差集。又例如，若存在循环（31,10,3）差集D，则7应是D的乘子，不妨设7固定D。但是，在自同构x→7x作用下Z31分成3个元素轨道，长度分别为1,15及15，这说明D不存在。

在第二乘子定理中取m为素数p。可得到定理的特例（称为第一乘子定理）：

第一乘子定理设D是一个（v，k，λ）阿贝尔差集，p为素数，p|n，p|v不成立，若p>λ，则p是D的一个乘子。

这个定理的证明依赖于条件p>λ，但事实上对每一个已知的阿贝尔差集，只要素数p是n的因子且不整除v，则一定是差集的乘子。因此，人们猜想第一乘子定理中去掉条件p>λ后结论仍成立。这个猜想称为乘子猜想。

乘子定理说明，n的因数是乘子的重要来源。但这并不是唯一的来源。例如，11是（21,5,1）循环差集D={3,6,7,12,14}的数值乘子，而11并不是n=4的因子。当一个数值乘子不是n的因子时，称为额外乘子。已知某些数不可能成为差集的额外乘子。例如，2不可能是阿贝尔差集的额外乘子，v-1不可能是任何（v，k，λ）循环差集的额外乘子。

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