平方根

数学名词

平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root），是一种方根。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数在实数范围内没有平方根，0的平方根是0。

定义

如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根。a的平方根记为，读作“正负二次根号a”，a叫做被开方数（radicand）。求一个数a的平方根的运算叫做开平方。

规定：0的平方根是0。

性质

被开方数越大，对应的算术平方根也越大（对所有正数都成立）。

一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。显然，如果知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

负数在实数系内不能开平方。只有在复数系内，负数才可以开平方。负数的平方根为一对共轭纯虚数。例如：-1的平方根为±i，-9的平方根为±3i，其中i为虚数单位。规定：，或。一般地，“”仅用来表示算术平方根，即非负数的非负平方根。

运算

描述

像加减乘除一样，求平方根也有自己的竖式算法。以计算为例。过程如图1：最后求出约等于1.732（保留小数点后三位）。

过程1

因为每次补数需要补两位，所以被开方数不只一个数位时，要保证补数不能夹着小数点。例如三位数，必须单独用百位进行运算，补数时补上十位和个位的数。

过程2

每一个过渡数都是由上一个过渡数变化而后，上一个过渡数的个位数乘以2，如果需要进位，则往前面进1，然后个位升十位。以此类推，而个位上补上新的运算数字。简单地讲，过渡数27，是第一次商的1乘以20，把个位上的0用第二次商的7来换，过渡数343是前两次商的17乘以20=340，其中个位0用第三次商的3来换，第三个过渡数3462是前三次商173乘以20=3460，把个位0用第四次的商2来换，依次类推。

过程3

误差值的作用。如果要求精确到更高的小数数位，可以按规则，对误差值继续进行运算。

例子

计算10的平方根，如下图所示：

牛顿迭代法

上述笔算开方方法是大多数人上学时课本附录给出的方法，实际中运算中太麻烦了。采取下面办法：

比如136161这个数字，首先找到一个和136161的平方根比较接近的数，任选一个，比方说300到400间的任何一个数，这里选350，作为代表。

先计算0.5(350+136161/350)，结果为369.5。

然后再计算0.5(369.5+136161/369.5)得到369.0003，发现369.5和369.0003相差无几，并且3692末尾数字为1。有理由断定3692=136161。

一般来说，能够开方开的尽的，用上述方法算一两次基本结果就出来了。再举个例子：计算。首先发现6002<469225<7002，可以挑选650作为第一次计算的数。即算0.5(650+469225/650)得到685.9。而685附近只有6852末尾数字是5，因此6852=469225。从而。

对于那些开方开不尽的数，用这种方法算两三次精度就很可观了，一般达到小数点后好几位。

实际中这种算法也是计算机用于开方的算法。

用Ruby求平方根

（注：sqrt = square root平方根）

C语言版求平方根

输出结果：

1.4142

0.3000

知识教案

算术平方根定义：

如果一个非负数x的平方等于a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记作。其中，a叫做被开方数。例如：因为2和-2的平方都是4，且只有2是正数，所以2就是4的算术平方根。

由于正数的平方根互为相反数，因此正数的平方根可分别记作和，可合写为。例如5的平方根可以分别记作和，可合写为。

0的平方根仅有一个，就是0本身。而0本身也是非负数，因此0也是0的算术平方根。可记作。

注意：算术平方根只有一个

教学重点与难点分析

1.本节重点是平方根和算术平方根的概念。平方根是开方运算的基础，是引入无理数的准备知识。平方根概念的正确理解有助于符号表示的理解，是正确求平方根运算的前提，并且直接影响到二次根式的学习。算术根的教学不但是本章教学的重点，也是今后数学学习的重点。在后面学习的根式运算中，归根结底是算术根的运算，非算术根也要转化为算术根。

2.本节难点是平方根与算术平方根的区别与联系。首先这两个概念容易混淆，而且各自的符号表示意义学生不是很容易区分，教学中要抓住算术平方根式平方根中正的那个，讲清各自符号的意义，区分两种表示的不同。

3.本节主要内容是平方根和算术平方根，注意数字要简单，关键让学生理解概念。另外在文字叙述时注意语言的严谨规范。

求平方根教学重点难点

1.教学重点是用计算器求一个正数的平方根的程序，无论实际生活，还是其他学科都会经常用到计算器求一个数的平方根，这也是学生的基本技能之一。

2.教学难点准确用计算器求一个正数的平方根，由于开平方运算要用到第二功能键，学生容易漏掉此步操作，在教学过程中要着重说明此键的作用功能教法建议。

3.在给学生讲解如何利用计算器求一个数的平方根时，应掌握方法。

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