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二次根式

数学名词

一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

定义
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
即：若 ，则 叫做a的平方根，记作x= 。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。
注意事项：被开方数可以是数 ，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。
最简二次根式条件：
二次根式化简一般步骤：
非负数 的平方根统称为算术平方根，用 （a≥0）来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。
应用
二次根式的应用主要体现在两个方面：
性质
有理化因式
两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。
注意：①他们必须是成对出现的两个代数式；②这两个代数式都含有二次根式；③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式；④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式。
常用有理化因式有:
与 ， 与 ， 与 ， 与 ， 与 。
在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法：
1.直接利用二次根式的运算法则：
例： ﹙b不为0﹚
2.利用平方差公式：
例： ﹙a≠b﹚
3.利用因式分解：
例： （此题可运用待定系数法便于分子的分解）
4.利用约分：
﹙x，y不同时为0﹚
﹙x，y不同时为0﹚
把分子中的根号化去，叫做分子有理化。
﹙a≠b﹚
换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。
例：在根式 中，令 ，即可得到
（此处，x>=-2,u>=0）
当0<=u<=3时，则-2<=x<=7
原式=3-u + 5-u =8-2u；
当3<=u<=5时，则7<=x<=23
原式=u-3 +5-u =2；
当u>=5时，x>=23
原式=
分析：通过换元法换元，将根号下的数化简，最后求值。
运算
加减法
1.同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 化简：
2.合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3.二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
例如：（1） ；（2）
乘除法
二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式。
1.乘法运算
用语言叙述为：两个数的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
推广
（a≥0，b≥0）
2.除法运算
用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
推广
（a≥0，b>0）
混合运算
二次根式混合运算与实数运算相同的运算顺序相同，先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。
乘法公式
1. 型，运用分配律化简，原式 。
2. ， 直接运用平方差公式。
3. ， 直接运用完全平方公式。
4. 型，运用分母有理化运算。
开平方运算
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。
运算方法
1.确定运算顺序。
2.灵活运用运算定律。
3.正确使用乘法公式。
4.大多数分母有理化要及时。
5.在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（但最后结果必须是分母有理化的）。
6.字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7.提公因式时可以考虑提带根号的公因式。
共轭根式
当A，B，C，D都是有理式，而 , 中至少有一个是无理式时，称 和 互为共轭根式。这两式的积是有理式
两个根式互为共轭根式，则他们互为有理化因式。
【共轭】定义：复数中，实部相等，而虚部互为相反数的一对复数，称为共轭复数对。
形如：a+bi 和a-bi
【求根公式】：
对于任意一个一元二次方程 ，它的两个根是 ： , 。这是由配方法求得的公式。
当 时， 。
所以，方程的两个根就变为 ：
和 。
这样，两根的实部都为 ，两根的虚部 和 互为相反数，两根就成为了共轭的一对复根。
两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数（conjugate complex number）（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）。复数z的共轭复数记作z'。
根据定义，若 （ ），则 （ ）。即共轭复数所对应的点关于实轴对称。
1.代数特征：
（1）
（2） （实数），
（3） （为一实数）
（4）
2.运算特征：
（1）
（2）
（3）
（4） 　( )
3.模的运算性质：
（1）
（2）
（3） ，是复平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线。
注意：z′表示复数z的共轭复数（实际形式为z上一横），z″表示复数z的共轭复数的共轭复数（为z上两横）。
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