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共轭因式

数学概念

设S是含有根式的已知表达式，若存在一个不恒等于零的表达式M，使乘积SM不含根式，则称M为S的共轭因式(conjugate factors)，S可以看作是M的共轭因式。一个式子的共轭因式不是唯一的，事实上，若M是S的共轭因式，则SnMn+1(n是自然数)也是S的共轭因式。

基本介绍
共轭因式亦称有理化因式、有理化因子，指乘积为有理式的两个无理式。若两个含有根式的代数式S与M的乘积SM是有理式，则它们互称共轭因式。例如，式子 (a>0，b>0)的共轭因式是 ，因为 。一个式子的共轭因式乘以一个有理式仍是这个式子的共轭因式，所以，一个式子的共轭因式不是惟一的。
求共轭因式的方法
常用的求共轭因式的方法如下：
1.对于 ，可取 作为共轭因式。
2.对于 ，可取
作为共轭因式。
3.对于 ，可取
作为共轭因式。
4.有时对共轭因式的寻求要逐步完成。
例如对于
则应取
可得
可再取
于是 的共轭因式为
5.待定系数法。
例如，求 的共轭因式，可取
系数bi(i=0，1，2，…，n-1)由S·M为有理式这一条件确定。
6.对于给定的含有根式的代数式，如果可以看成是某一根式的多项式P(x)，则可利用互质多项式P(x)和Q(x)的性质，辗转相除，可得多项式M(x)与N(x)，使得M(x)P(x)+N(x)Q(x)=1，则M(x)即为P(x)的共轭因式。
7.对于表达式
(此处p， q， …， r是小于n的自然数)， 可取
求共轭因式常用于根式运算的使分母(或分子)有理化的过程中。中国的《九章算术》“少广”章中叙述有：“若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。”译为现代算术，即
足见其已有了有理化分母的思想，秦九韶在所著《数书九章》中，也运用了有理化方法。
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