阿贝尔群

交换群

阿贝尔群（Abelian Group），又称交换群或加群，是这样一类群：

命名

阿贝尔群是Camille Jordan以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名，他首先察觉到了阿贝尔首先发表的这种与根式可解性的联系的重要性。由阿贝尔群分解定理，任何阿贝尔群可以分解成一些整数群和剩余类群的直和，这个分解是唯一的，其中分解出来的整数群的个数称为阿贝尔群的秩。比阿贝尔群更广泛的概念是模的概念，阿贝尔群就是整数环上的模。阿贝尔群有两个传统的记号方式：加法及乘法。常用加法表示群运算。

定义

亦称交换群。一种重要的群类。对于群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba.若群G的运算满足交换律，即对任意的a，b∈G都有ab=ba，则称G为阿贝尔群。由于阿贝尔(Abel，N.H.)首先研究了交换群，所以通常称这类群为阿贝尔群。交换群的运算常用加法来表示，此时群的单位元用0(零元)表示，a的逆元记为-a(称为a的负元).用加法表示的交换群称为加法群或加群。

阿贝尔群是有着群运算符合交换律性质的群，因此阿贝尔群也被称为交换群。它由自身的集合 G 和二元运算 * 构成。它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、G 有单位元、所有 G 的元素都有逆元之外，还满足交换律公理

因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。

而群运算不满足交换律的群被称为“非阿贝尔群”，或“非交换群”。

定理

设是一个群，是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。

任何一个循环群必定是阿贝尔群。

符号

阿贝尔群有两种主要运算符号 — 加法和乘法。

一般地说，乘法符号是群的常用符号，而加法符号是模的常用符号。当同时考虑阿贝尔群和非阿贝尔群时，加法符号还可以用来强调阿贝尔群是特定群。

乘法表

验证有限群是阿贝尔群，可以构造类似乘法表的一种表格(矩阵)，它称为凯莱表。如果群 G = {g1 = e, g2, ..., gn} 在运算 ⋅ 下，则这个表的第 (i, j) 个表项包含乘积 gi ⋅ gj。群是阿贝尔群当且仅当这个表是关于主对角线是对称的(就是说这个矩阵是对称矩阵)。

这是成立的因为如果它是于阿贝尔群，则 gi ⋅ gj = gj ⋅ gi。这蕴含了第 (i, j) 个表项等于第 (j, i) 个表项，就是说这个表示关于主对角线对称的。

例子

整数集结合律的，零是加法单位元，所有整数 n 都有加法逆元 −n，加法运算是符合交换律的因为对于任何两个整数 m 和 n 有 m + n = n + m。

所有循环群 G 是阿贝尔群。因此整数集 Z 形成了在加法下的阿贝尔群，整数模也是。

所有环都是关于它的加法运算的阿贝尔群。在交换环中的可逆元形成了阿贝尔乘法群。特别是实数集是在加法下的阿贝尔群，非零实数集在乘法下是阿贝尔群。

所有阿贝尔群的子群都是正规子群，所以每个子群都引发商群。阿贝尔群的子群、商群和直和也是阿贝尔群。

矩阵即使是可逆矩阵，一般不形成在乘法下的阿贝尔群，因为矩阵乘法一般是不可交换的。但是某些矩阵的群是在矩阵乘法下的阿贝尔群 - 一个例子是 2x2 旋转矩阵的群。

性质

如果n是自然数而x是使用加号的阿贝尔群G的一个元素，则nx可以定义为x + x + ... + x（n个数相加）并且（−n）x = −（nx）。以这种方式，G变成在整数的环Z上的模。事实上，在Z上的模都可以被识别为阿贝尔群。

关于阿贝尔群（比如在主理想整环Z上的模）的定理经常可以推广到在任意主理想整环上的模。典型的例子是有限生成阿贝尔群的分类是在主理想整环上的有限生成模的结构定理的特殊情况。在有限生成阿贝尔群的情况下，这个定理保证阿贝尔群可以分解为挠群和自由阿贝尔群的直和。前者可以被写为形如Z/pkZ对于素数p的有限多个群的直和，而后者是有限多个Z的复本的直和。

如果f, g : G → H是在阿贝尔群之间的两个群同态，则它们的和f + g，定义为(f + g)(x) = f(x) + g(x)，也是阿贝尔同态。（如果H是非阿贝尔群则这就不成立。）所有从G到H的群同态的集合Hom(G, H)因此是自身方式下的阿贝尔群。

某种程度上类似于向量空间的维度，所有阿贝尔群都有秩。它定义为群的线性无关元素的最大集合的势。整数集和有理数集和所有的有理数集的子群都有秩1。

人物简介

挪威数学家。他在中学时代已自学欧拉、拉格朗日和高斯等著名数学家的著作。读大学时试图用代数方法解一般五次方程，这使他发现：用根式解一般五次以上的方程是不可能的，在他1826年的著名论文中给出了证明，使得这个困扰数学家几百年的问题终于得到了解决。他在与此有关的一系列工作中已经引入了群和域的概念，发现元素相乘可交换的群对方程的可解性理论有重要意义。因此，后人把交换群称为阿贝尔群，他还研究了一类代数方程，它们是可以用根式求解的，现在叫阿贝尔方程。阿贝尔对数学分析的发展及其严格化也作出了卓越的贡献，其中不少结果以他的名字命名，我们熟知的有：阿贝尔积分、阿贝尔积分方程，关于导出阿贝尔函数的代数函数的积分的和的阿贝尔定理，无穷级数的阿贝尔判敛法，关于幂级数的阿贝尔定理等。他又与雅可比在友好的竞争中共同创立了椭圆函数理论，尽管有如此杰出的成就，他却没有及时地得到数学界的承认。他一生贫穷，并且由于得了肺病没能得到一个教学职务。在他27岁那年，柏林大学终于聘他为数学教授，但聘书寄到时，已是他去世后第3天了。

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