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交错级数

数学名词

交错级数是正项和负项交替出现的级数，形式满足a1-a2+a3-a4+.......+(-1)^(n+1)an+......，或者-a1+a2-a3+a4-.......+(-1)^(n)an，其中an＞0。在交错级数中，常用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性，即若交错级数各项的绝对值单调递减且极限是零，则该级数收敛；此外，由莱布尼茨判别法可得到交错级数的余项估计。最典型的交错级数是交错调和级数。

定义
若级数的各项符号正负相间，即形如
的级数叫做交错级数。
换句话说：交错级数是正项和负项交替出现的级数。
注意：上式中-1的次数也可以为n，即奇数项为负，偶数项为正。
收敛性判别
莱布尼茨判别法
定理内容
如果交错级数 满足以下两个条件：
（1）数列单调递减；
（2） ；
那么该交错级数收敛，且其和满足。
证明过程
考虑交错级数的部分和数列，它的奇数项和偶数项分别为：
∵单调递减
∴上述二式中括号内的每一项均为非负数
∴单调递减，单调递增。
∵，且
∴是一个闭区间套
由闭区间套定理，存在唯一实数，并且
∴
故数列收敛，即级数收敛。
适用范围
注意，莱布尼茨定理所给出的条件（1）是充分非必要条件，即对非单调递减的数列{un}，交错级数既可能收敛，也可能发散。
换句话说，莱布尼茨定理仅仅给出了判断交错级数收敛的充分条件，却没有给出判断交错级数发散的条件；同时，如果交错级数满足该定理的条件，也无法判断级数是绝对收敛还是条件收敛。
推论（余项估计）
如果交错级数满足莱布尼茨判别法的两个条件，则该级数的余项估计式为：。
典例
例1（交错调和级数）
知，易得数列单调递减，且，即该数列满足莱布尼茨判别法，故交错调和级数是收敛的。
例2
判定级数的敛散性。
解：已知该级数是交错的，我们试图验证它满足莱布尼茨判别法的条件（1）和（2）。
数列递减并不显然。但是，如果我们考虑与它相应的函数，我们发现。当时，，因此在上递减，这表明当时，，且，该不等式可直接验证，故条件（1）满足。
条件（2）由洛必达法则易证：，故有，条件（2）满足。
因此，由莱布尼茨判别法可得，该级数是收敛的。
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