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差等关系

数学术语

差等关系，亦称“从属关系”。

定义
差等关系亦称“从属关系”。
差等关系是指A命题与I命题、E命题与O命题之间的关系。由于A命
题与I命题、E命题与O命题之间的区别仅在于一个是全称命题，一个是特
称命题，因此又可把差等关系看为全称命题和特称命题之间的关系。
两种表现形式
第一种：如果全称命题为真，那么特称命题一定为真；
第二种：如果特称命题为假，那么全称命题一定为假。
例子
我们以A命题与I命题为例对第一种关系作出说明，E和O命题的关系
与此相同。既然“所有的S都是P”为真，那就表明S中的每一个对象都具
有P的性质，因此，说S中的某些对象具有P的性质就一定成立，亦即“有
的S是P”必定为真。例如：
（1）这批产品都是合格的。
这批产品有的是合格的。
“有的产品”已包含在“所有的产品”之中，既然所有的产品都具有合
格的性质，那么，其中的某些产品当然也就具有合格的性质。这里需要说明
的是，逻辑上的特称量词的用法与自然语言中的用法略有区别，“有的S是
P”，并不包含有的S不是P的意思，因此与“所有的S都是P”是相容的。
我们以E命题和O命题为例对第二种关系作出说明，A和I命题的关系
与此相同。既然O命题“有的S不是P”为假，根据矛盾关系，A命题“所有
的S都是P”就一定为真；又根据反对关系，A命题为真，则E命题即“所有
的S都不是P”一定为假。例如：
（2）我班有的同学不是围棋爱好者。
我班所有的同学都不是围棋爱好者。
“我班有的同学不是围棋爱好者”既然为假，那就表明我班所有的同学都是
围棋爱好者，这就表明“我班所有的同学都不是围棋爱好者”一定为假。
根据第一种逻辑关系，我们从A 命题为真，就可以推出I命题一定为真；
从E命题为真，就可以推出O命题一定为真。根据第二种逻辑关系，我们从
I命题为假，就可以推出A命题一定为假；从O命题为假，就可以推出E命
题一定为假。
在全称命题为假的情况下，我们无法确定特称命题的真假情况，也就是
说，全称命题假，特称命题可能假，也可能真。例如E命题“我班所有的同
学都不是围棋爱好者”为假，O 命题“我班有的同学不是围棋爱好者”可能
为真，也可能为假。
在特称命题为真的情况下，我们无法确定全称命题的真假，也就是说，
特称命题真，全称命题可能真，也可能假。例如I命题“这批产品有的是合
格的”为真，A命题“这批产品所有的都是全格的”可能为真，也可能为假。
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