代数曲面

数学术语

在空间中，满足n次代数方程f(x，y，z)=0的点P(x，y，z)的全体，称为n次代数曲面。还可把这个概念推广到高维的情况。

发展历程

代数曲面的历史开始于两个变量代数函数论的研究，由于可以把单变量代数函数理论作为Riemann面上的有理函数理论来处理，从而发展成了完美的理论体系；同样，为了研究由三个复变量的不可约多项式所定义的两个变量代数函数的实质，而把它作为代数曲面上的有理函数来处理，就是必要的了。H.Poincaré，E.Picard等人很早就着眼于这一点，他们研究了代数曲面的拓扑结构，并以此为武器展开了代数曲面上的Abel积分(也称为Picard积分)理论，这一传统后来由S.Lefschetz进一步做了光辉的发展，另一方面，M.Noether和意大利学派的几何学家F.Enriques，G.Castelnuovo和F.Severi等人则把主要力量放在作为簇的代数曲面的研究上，特别是意大利学派的人们早就注意到代数曲面的非正则数所具有的重要性，并深入研究了它的几何性质，他们在二十世纪前半期，大体上完成了把代数曲面的理论统一成为一个巨大的理论体系的工作，虽然在他们所得到的深刻结果中还有一些未被严格证明，但是后来由于奠定了代数几何的基础和导入了现代的方法，代数曲面的理论也就完整而严密了，在这个现代化过程中，最有贡献的是O.Zariski和小平邦彦。

寻求与给定的代数曲面双有理等价的非奇异代数曲面的问题，是这个领域中最基本的问题之一。这个问题，在复数域上，有意大利学派的证明和R.J.Walker(Ann. of Math.，36(1935))的函数论的证明，而Zariski(Ann. ofMath.，40(1936))则在特征为0的域上给出了基于赋值论的纯代数的证明，进而，s.Abhyankar(1956)完成了关于特征为p的情形的证明。今后，除非特别说明，总假定代数曲面是置于射影空间中的，而且没有奇点。再者，记万有域为K，F的函数域为K（F）。

定义

空间中建立一个直角坐标系(或仿射坐标系)后，如果一个曲面的方程的左端是的多项式，那么称为代数曲面，并且把多项式的次数称为代数曲面的次数。次数为的代数曲面简称为次曲面。例如，椭球面、双叶双曲面、单叶双曲面、二次锥面、椭圆抛物面、双曲抛物面、椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面等都是二次曲面。

代数曲面的齐次方程式

和平面代数曲线一样，在笛卡尔坐标系中，空间点的坐标，如能满足关于的n次代数方程式，称P点的轨迹为n次代数曲面，记为。

其中。

如令，则可化为n次齐次方程，P点的齐次坐标为，n次代数曲面的齐次方程为：

其中为正整数或零，且

显然，在射影变换下，n次齐次方程仍变换为n次齐次方程，所以代数曲面的次数是一个射影不变量。

例如，球面的笛卡尔坐标方程为

其对应的齐次方程为

它在射影变换下，可以变换为椭球面，椭圆抛物面，双叶双曲面等，但仍是二次曲面。

曲面的确定条件数