代数空间

代数簇和概形概念的推广

代数空间(algebraic space)代数簇和概形概念的推广。代数空间是阿廷(Artin，E.)引入的，主要目的是为了弥补概形范畴关于许多取商的函子不封闭的缺陷。代数空间关于平坦等价关系取商仍是代数空间。概形理论里的许多概念都能推广到代数空间，并且代数空间中包含有扎里斯基拓扑意义下的开稠密子空间，使它是一个概形。

人物简介

阿廷是一位代数学家。生于奥地利维也纳。1916年在维也纳大学学习了一个学期后加入步兵团;1919年进莱比锡大学继续学习，1921年获博士学位;随即去格廷根大学一年;后到汉堡大学，1923年为不支薪讲师，1925年升副教授，1926年升教授。1937年移居美国，先后在圣母大学和印第安那大学执教。1946—1958年执教普林斯顿大学。1958年回到汉堡大学。1962年因心力衰竭逝世。

阿廷被公认为现代抽象代数学的先驱。1923年，他在研究非阿贝尔L级数时提出广义互易律猜想，并于1927年证明之，从而解决了希尔伯特第9问题。他还利用这个互易律把著名的希尔伯特主猜想归结为纯粹群论问题，后来被P·H·富特文格勒证明(1930)。1926年，他引进实域的概念，从而肯定地解决了希尔伯特第17问题：n个变量的正定有理式能否表示成有理式的平方和?1944年，他提出“阿廷环”的概念，这是现代代数学的基本概念之一。阿廷提出过许多著名猜想，给代数学研究以巨大的推动。例如他在20年代提出了函数域上的黎曼猜想(韦伊于1941年给予证明)，非阿贝尔L级数是亚纯的(布饶尔于1947年证明)并且也有黎曼猜想的性质(至今尚未证明);30年代他猜测有限域是拟代数闭域(几乎立即被谢瓦莱证明)等等。他还猜测如果一个单群的阶g能够被p>g整除，则这个群必属于已知类型(被布饶尔等于1958年证明)。他对三维空间的纽结理论研究也有贡献。

阿廷热爱讲授各级课程，范·德·瓦尔登的名著《代数学》就是根据他和E·诺特的讲课记录整理而成的。他的著作包括《伽罗瓦理论》(Galois Theo-ry， 1942)，《代数数与代数函数》(Algebraic Numbers andAlgebraic Functions， 1950)和《几何代数》(Geometric Alge-bra， 1957)等。1965年，斯普林格出版社出版了阿廷的文集，其中包括了他的全部49篇论文。

代数簇

代数几何的基本研究对象.设k是一个域，域k上的代数簇就是一个整的、分离、有限型k概形.这里的基域k往往被取作代数闭域.若一个代数簇又是射影、拟射影、仿射或正常k概形，则把这个代数簇相应地称为射影、拟射影、仿射、完备(代数)簇.射影簇必定是完备簇，反之则不然.永田定理断言：对任意的代数簇X，必存在一个完备簇，使得X→是开浸入.代数簇的概念最早是在20世纪20年代由范·德·瓦尔登(Van der Waerden，B.L.)和诺特(Noether，E.)等提出的，以后又经过韦伊(Weil，A.)、塞尔(Serre，J.P.)等人的发展，直至格罗腾迪克(Grothendieck，A.)把它纳入概形体系，才得到上述的现代定义.

设S是一个概型，φ是概型X到S的态射，则称X是一个S-概型，如果S=SpecR，则称X是一个R-概型。设f是概型X到Y的态射，如果△X/Y： X→XxYX，x→(x，x)是闭的浸入，则称X在Y上可分，若Y=SpecR，则称X是可分的。态射f：X→Y称为有限型的，如果存在Y的仿射开覆盖{Yλ|λ∈∧} 使得每个Xλ=f(Yλ) 可以被有限个仿射开子集覆盖，而Xλj=SpecBλj，Yλ=SpecAλ每个Bλj是有限生成的Aλ代数。若X→SpecR是有限型的，则称X是R-代数的。设k是一个代数闭域，V是一个整的，可分的在k上代数的k-概型，则我们称V是k上的一个代数簇。设(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是态射，如果→f=φ，则称f是S-态射。设X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密开子集，φ：U→Y是R-态射}，在E上引入等价关系 (U，φ)～ (V，φ) 当且仅当对于U∩V的某个稠密开子集W，|w=Φ|W。E/～的元素称为有理映射，若Y=SpecR[X]，则称为有理函数，X上所有有理函数的集合记作RatR(X)。若V是域k上的代数簇，则RatR(V)称为V的函数域。设f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，则称f是控制的。设V，W是代数簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恒等映射，则称f是双有理映射。V到V的所有双有理映射作成一个群，称为V的双有理同构群。如果有V到W的双有理映射，则称V与W双有理等价。一维的代数簇称为曲线，二维的代数簇称为曲面。曲面S上的曲线C是曲面S的一维闭子簇。

概形

代数几何的基本研究对象.它实际上就是一个局部同构于仿射概形的局部环空间.更精确地，概形(X，OX)是一个环空间，其拓扑空间X有一个开覆盖{Xi}i∈I，使得(Xi，OX|Xi)同构于仿射概形Spec Γ(Xi，OX)(这样的覆盖称为仿射开覆盖).概形间的态射就是局部环空间的态射.概形的范畴是局部环空间范畴的子范畴.若概形X有一个仿射开覆盖{Xi}，使得每个仿射概形都是诺特概形、既约概形、正规概形或正则概形，则相应地称概形X是局部诺特的、既约的、正规的或正则的.这些性质都是概形的局部性质，就是说，只要存在一个仿射开覆盖具有上述某种性质，这个概形就具有此性质，而且任意一个仿射开子概形都有此性质.若概形X的拓扑空间是连通空间或不可约空间(即它不能表成两个不同真闭子集的并)，则称此概形为连通的或不可约的.

在研究概形的性质或有关的概念时，往往要考虑具有相同基础的概形.带有态射f：X→S的概形X称为S概形.若S=Spec A是仿射概形，则S概形简称A概形.显然任何概形都是Z概形.给出基变换态射S′→S后，可以得到一个S′概形XS′=X×SS′，称为S概形X的基扩张.与S概形相关的概念称为相对概念，以区别于与概形相关的绝对概念.S概形与态射f：X→S密切相关.不同性质的态射就给出了不同的S概形.例如，设f：X→S是一个态射，若对角浸入X→X×SX是闭态射，则称f是分离态射;若存在S的一个仿射开覆盖{Ui}={Spec Bi}，使得每个f(Ui)都有一个有限仿射开覆盖{Vij}={Spec Aij}，并且Aij都是有限生成Bi代数，则称f是有限型的;若f(Ui)=Spec Ai，Ai都是有限生成Bi模，则称f是有限态射.有限态射是仿射态射.代数几何中研究的S概形一般都是分离、有限型的.

代数空间概念

代数空间是代数簇和概形概念的推广。概形S上的代数空间是S的平展拓扑意义下的集合层A，并且存在概形U以及层的态射u：U→A，还有一个等价关系i1，i2：R→U，使得i1和i2都是满平展态射，(i1，i2)：R→U×SU是拟紧的，而且u诱导了A与商层U/R间的等价。这时称U为层A的平展覆盖。代数空间是阿廷(Artin，E.)引入的，主要目的是为了弥补概形范畴关于许多取商的函子不封闭的缺陷。代数空间关于平坦等价关系取商仍是代数空间。概形理论里的许多概念都能推广到代数空间，并且代数空间中包含有扎里斯基拓扑意义下的开稠密子空间，使它是一个概形。

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