正规概形

数学术语

概形是代数几何的基本研究对象。它实际上就是一个局部同构于仿射概形的局部环空间。更精确地，概形(X，OX)是一个环空间，其拓扑空间X有一个开覆盖{Xi}i∈I，使得(Xi，OX|Xi)同构于仿射概形Spec Γ(Xi，OX)(这样的覆盖称为仿射开覆盖)。

概念

正规概形(normal scheme)是整闭整环的推广。若一个概形X的所有局部环OX，x都是整闭整环，则称X是正规概形。正规概形是局部不可约的，因此它的连通分支与不可约分支重合。正规诺特概形的奇点集的余维数大于1。对于一个既约概形X总存在一个典范的正规概形X~与X相伴，称为X的正规化。当X是域上有限型概形时，X~→X一定是有限态射。

整闭整环

整闭整环亦称正规环。刻画戴德金整环的重要概念。若整环R在它的商域中整闭，称R为整闭整环。例如，单一分解环、赋值环均是整闭整环。整闭性是局部性质。

戴德金整环是一维诺特整闭整环。整环R称为戴德金整环。若满足以下三个条件：

1.R是诺特环.

2.R在其商域中整闭.

3.dim R=1(其中dim表示克鲁尔维数)，也即R不是域且非零素理想均为极大理想.

在戴德金整环R中每个准素理想均为素理想的幂，从而每个非零理想均可惟一(不计因子次序)地表示为有限个素理想的积。由库默尔(Kummer，E.E.)开创，戴德金(Dedekind，(J.W.)R.)所建立起来的戴德金整环的理论已十分完整，但有些重要的诺特环，例如，域F和整数环Z上多项式环F[x1，x2，…，xn]，Z[x1，x2，…，xn]均非戴德金整环。

概形

概形是代数几何的基本研究对象。它实际上就是一个局部同构于仿射概形的局部环空间。更精确地，概形(X，OX)是一个环空间，其拓扑空间X有一个开覆盖{Xi}i∈I，使得(Xi，OX|Xi)同构于仿射概形Spec Γ(Xi，OX)(这样的覆盖称为仿射开覆盖)。概形间的态射就是局部环空间的态射。概形的范畴是局部环空间范畴的子范畴。若概形X有一个仿射开覆盖{Xi}，使得每个仿射概形都是诺特概形、既约概形、正规概形或正则概形，则相应地称概形X是局部诺特的、既约的、正规的或正则的.这些性质都是概形的局部性质，就是说，只要存在一个仿射开覆盖具有上述某种性质，这个概形就具有此性质，而且任意一个仿射开子概形都有此性质。若概形X的拓扑空间是连通空间或不可约空间(即它不能表成两个不同真闭子集的并)，则称此概形为连通的或不可约的。

在研究概形的性质或有关的概念时，往往要考虑具有相同基础的概形。带有态射f：X→S的概形X称为S概形.若S=Spec A是仿射概形，则S概形简称A概形。显然任何概形都是Z概形。给出基变换态射S′→S后，可以得到一个S′概形XS′=X×SS′，称为S概形X的基扩张.与S概形相关的概念称为相对概念，以区别于与概形相关的绝对概念。S概形与态射f：X→S密切相关.不同性质的态射就给出了不同的S概形.例如，设f：X→S是一个态射，若对角浸入X→X×SX是闭态射，则称f是分离态射；若存在S的一个仿射开覆盖{Ui}={Spec Bi}，使得每个f(Ui)都有一个有限仿射开覆盖{Vij}={Spec Aij}，并且Aij都是有限生成Bi代数，则称f是有限型的;若f(Ui)=Spec Ai，Ai都是有限生成Bi模，则称f是有限态射。有限态射是仿射态射。代数几何中研究的S概形一般都是分离、有限型的。

诺特环与诺特概形

诺特环

设R是一个有单位元的交换环，如果R的每个理想链I1⫅I2⫅I3⫅…都存在整数n，使得对任何i≥n，Ii=In，则称R是一个诺特环。设R是一个交换环，R的理想Q称为准素理想，如果Q≠R，对任意的a，b∈R，若ab∈Q，a∉Q，则必存在正整数n，使得b∈Q。设I是交换环R的理想，I的根(或称幂零根)是包含I的所有素理想之交，记作或radI。准素理想的根是一个素理想，这个素理想称为与Q结合的素理想，或Q是属于这个素理想的准素理想。交换环R中的理想I称为有准素分解，如果I=Qi∩…∩Qn，其中Qi，i=1，…，n都是准素理想。如果每个Qi都不包含Q1∩…∩Qi-1∩Qi+1∩…∩Qn，而且Qi的根互不相同，则称这样的准素分解是既约的。一个有单位元的交换环R是诺特环当且仅当R的每个理想是有限生成的，当且仅当R满足理想的极大条件：对R的任一个理想的非空族{Iλ}，其中必存在极大元I，即若J∈ {Iλ}，I⫅J，则I=J。含幺交换环是诺特环当且仅当每个素理想是有限生成的。诺特环R的每个理想I，I≠R，有准素分解，而且若I=A1∩…∩An，I=B1∩…∩Bm是两个既约准素分解，其中Ai是属于Pi的准素理想，Bj是属于Qj的准素理想，则n=m，而且适当重排顺序后，Pi=Qi。环R的非空子集S称为R的一个乘闭子集，如果对任何a，b∈S，ab∈S。设S是交换环R的一个乘闭子集，在集合R×S上定义一个关系～： (r，s) ～ (r′，s′)，如果存在S1∈S使得s1局部环，称为R在P处的局部化，记作Rp。设S是诺特环R的乘闭子集，则SR也是诺特环。设R是—个诺特环，R[x1，…，xn]是R上文字x1，…，xn的多项式全体做成的环，则R[x1，…，xn]也是诺特环，这个结论称为希尔伯特基定理。设R是一个诺特环，R[[x]]是R上文字x的形式幂级数全体做成的环，则R[[x]]也是诺特环。

诺特概形

诺特概形是诺特环的推广。若一个概形X有一个由诺特环的谱所构成的有限仿射开覆盖，则称X是诺特概形。诺特概形中的任意一个仿射开子概形都是诺特环的谱。域上或诺特环上的有限型概形都是诺特概形。

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