戴德金整环

一维诺特整闭整环

戴德金整环(Dedekind domain)是一维诺特整闭整环。在戴德金整环R中每个准素理想均为素理想的幂，从而每个非零理想均可惟一(不计因子次序)地表示为有限个素理想的积。由库默尔(Kummer，E.E.)开创，戴德金(Dedekind，(J.W.)R.)所建立起来的戴德金整环的理论已十分完整。

定义

若整环R的每个非本身的理想都是有限多素理想的积，则R为戴德金整环。

概念

戴德金整环(Dedekind domain)是一维诺特整闭整环。整环R称为戴德金整环。若满足以下三个条件：

1.R是诺特环.

2.R在其商域中整闭.

3.dim R=1(其中dim表示克鲁尔维数)，也即R不是域且非零素理想均为极大理想与可逆理想。

在戴德金整环R中每个准素理想均为素理想的幂，从而每个非零理想均可惟一(不计因子次序)地表示为有限个素理想的积。由库默尔(Kummer，E.E.)开创，戴德金(Dedekind，(J.W.)R.)所建立起来的戴德金整环的理论已十分完整，但有些重要的诺特环，例如，域F和整数环Z上多项式环F[x1，x2，…，xn]，Z[x1，x2，…，xn]均非戴德金整环。

环

的全体构成的集类，则F是R上的一个环。环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。

整环

非退化为{0}且没有0因子的交换环称为整环。

环Z是整环。设n为非零自然数；为使环Z/nZ为整环，必须且只须n是素数。任一交换体是整环对任一整环A，系数取自A中含一个未定元的全体多项式之环A[X]，系数取自A中的全体形式级数之环A[[X]]都是整环。由此推知，系数取自交换体K中含p个未定元的全体多项式之环K[X1，X2，…，Xp]及含p个未定元的全体形式级数之环K[[X1，X2，…，Xp]]都是整环。

诺特环

设R是一个有单位元的交换环，如果R的每个理想链I1⫅I2⫅I3⫅…都存在整数n，使得对任何i≥n，Ii=In，则称R是一个诺特环。设R是一个交换环，R的理想Q称为准素理想，如果Q≠R，对任意的a，b∈R，若ab∈Q，a∉Q，则必存在正整数n，使得b∈Q。设I是交换环R的理想，I的根(或称幂零根)是包含I的所有素理想之交，记作或radI。准素理想的根是一个素理想，这个素理想称为与Q结合的素理想，或Q是属于这个素理想的准素理想。交换环R中的理想I称为有准素分解，如果I=Qi∩…∩Qn，其中Qi，i=1，…，n都是准素理想。如果每个Qi都不包含Q1∩…∩Qi-1∩Qi+1∩…∩Qn，而且Qi的根互不相同，则称这样的准素分解是既约的。一个有单位元的交换环R是诺特环当且仅当R的每个理想是有限生成的，当且仅当R满足理想的极大条件：对R的任一个理想的非空族{Iλ}，其中必存在极大元I，即若J∈ {Iλ}，I⫅J，则I=J。含幺交换环是诺特环当且仅当每个素理想是有限生成的。诺特环R的每个理想I，I≠R，有准素分解，而且若I=A1∩…∩An，I=B1∩…∩Bm是两个既约准素分解，其中Ai是属于Pi的准素理想，Bj是属于Qj的准素理想，则n=m，而且适当重排顺序后，Pi=Qi。环R的非空子集S称为R的一个乘闭子集，如果对任何a，b∈S，ab∈S。设S是交换环R的一个乘闭子集，在集合R×S上定义一个关系～： (r，s) ～ (r′，s′)，如果存在S1∈S使得s1p。设S是诺特环R的乘闭子集，则SR也是诺特环。设R是—个诺特环，R[x1，…，xn]是R上文字x1，…，xn的多项式全体做成的环，则R[x1，…，xn]也是诺特环，这个结论称为希尔伯特基定理。设R是一个诺特环，R[[x]]是R上文字x的形式幂级数全体做成的环，则R[[x]]也是诺特环。

人物简介——戴德金

德国数学家。生于不伦瑞克，卒于同地。早年在格丁根大学求学，是高斯的得意门生。1852年获博士学位。1854年留校任教，与狄利克雷和黎曼结为好友。1858—1862年应邀任瑞士苏黎世综合工科学校教授。1862年返回家乡，在不伦瑞克综合工科学校执教，直至逝世。戴德金是格丁根、柏林、巴黎、罗马等科学院的成员，还被欧洲几所大学授予荣誉博士称号。其主要贡献在实数理论和代数数论方面。他注意到当时的微积分学实际上还缺乏严密的逻辑基础，对无理数还没有严密的分析和论证，因而提出用所谓“戴德金分割”来定义无理数，并对连续性理论进行深入研究，为实数理论的建立做出了不可磨灭的贡献。1872年，他的《连续性与无理数》出版，使他与G.康托尔、外尔斯特拉斯等人成为现代实数理论的奠基人。在代数数论方面，他建立了现代代数数和代数数域的理论。他的代数数理论是高斯的复整数和库默尔代数数的一般化，后来他又用另一种方法重建代数数中的唯一因子分解定理。他深入研究各种代数结构，特别引入环的概念，给出理想子环的一般定义，后来把满足理想唯一分解条件的整环称作戴德金环。他在代数数论方面的工作对19世纪数学产生了深远影响。他的著作还有《数的意义》(1888)等。他还编辑出版了狄利克雷和黎曼的全集。

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