素理想

数学领域术语

环R中的理想P如果满足以下条件就称作素理想：P是R的真理想，且对任何a，b∈R, 如果乘积ab ∈P，那么a或b中至少有一个属于P。

定义

环R中的理想P如果满足以下条件就称作素理想：P≠R，且对R中任意两个理想A与B，如果AB⊂P，那么A⊂P或B⊂P。

性质

考虑含幺交换环R：

1.若P为素理想，则对R中任意两个元a与b，若ab∈P，有a∈P或b∈P；

2. P是R的素理想当且仅当商环是整环；

3. P是R的极大理想当且仅当商环是域，因此极大理想必是素理想；

4.R的理想P(≠R)为素理想，当且仅当R-P为乘性子集。

5.以下条件是等价的：

①R是域；

②R每一个非零环同态都是单射。

背景

素理想一词最早可追溯到费马最后的定理（也称费马大定理）的研究，即证明著名的费马方程，当n>2时没有非零整数解。这一问题的研究首先被扩展到n次单位根扩域上--分圆域--来讨论。人们试图利用类似整数的算术基本定理来证明方程无解，但遗憾的是, 分圆域上算术基本定理不一定成立。为了弥补这一缺陷，库莫引入了理想数的概念--即“理想”的雏形。

理想数上有算术基本定理，既可以唯一分解成素理想的乘积。这里的素理想当然就是推广了整数环中的素数的概念。理想理论后为戴德金所发展，已成为代数数论、交换代数等理论的基础内容之一。

与几何的联系

对于代数闭域 k（比如复数域）上的多项式环R=k[x_1,...x_n]，希尔伯特基定理指出：任何理想I总是由有限个多项式生成. 这些多项式定义了n维仿射空间中的代数簇--即这些多项式方程组的零点集。代数几何的基本结论表明, 在所有根理想的集族和所有代数簇的集族之间存在一一对应.

素理想对应着不可约的代数簇. 极大理想对应点。

例子

1、 R=Ζ是整数环，我们知道R中任何理想都是主理想，即由一个整数d生成的理想(d)。换言之, 该理想是由d的全体倍数构成的集合，(d)是素理想当且仅当d是素数。

2、R=Q是有理数域， R中的理想只有零理想和R本身，零理想显然是素理想。

3、R=F[x]是域F上的多项式环--即系数取自F的多项式全体构成的集合，R中的素理想就是由不可约多项式生成的理想。

理想

理想是集合论中的基本概念之一。设S为任意集合，若I⊆P(S)且满足：

1.∅∈I；

2.若X，Y∈I，则X∪Y∈I；

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，则Y∈I；

则称I为集合S上的理想。理想的概念在现代数学的几乎每个分支中均有应用，且有许多变体或引申。例如，布尔代数上的理想即为集合上的理想的一种变体。设B为任意布尔代数，若B的一个子集I满足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分别为布尔代数B中的零元与么元)；

2.对任何u∈I，v∈I，有u+v∈I；

3.对任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I；

则称I为B上的理想。

推广

素理想的概念可以推广为准素理想：即其根理想为素理想的那些理想。准素理想唯一分解定理就是整数中的算术基本定理的推广。

准素理想是一种特殊的理想。理想论中理想分解的基础。设Q是交换环R的理想且Q≠R，如果对R中任意元素x，y，xy∈Q且xQ，恒有正整数n，使得yn∈Q，则称Q是R的准素理想。素理想是准素理想，但素理想的幂未必是准素理想。

集合论

数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合(如群、环、拓扑空间)，或者是可以通过集合来定义的(如自然数、实数、函数)。从这种意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础，至多范畴论除外。

集合论是G.康托尔于19世纪末创立的。20世纪初对集合论的严格处理产生了公理集合论，由于对它的研究广泛采用了数理逻辑工具，集合论(公理集合论)又逐渐成为数理逻辑的一个分支，并从20世纪60年代以来获得迅速的发展。

集合论是在分析数学的研究中产生的，直接产生于三角级数的研究工作中。1854年黎曼提出，如果函数f(x)在某个区间内除间断点以外所有点上都能展开为收敛于函数值的三角级数，那么这样的三角级数是否唯一?但他没有回答。1870年海涅证明：当f(x)连续，且它的三角级数展开式一致收敛时，展开式是唯一的。进一步的问题是：什么样的例外的点(间断点)不影响这种唯一性?表述这些例外的点的整体的需要，产生了点集的概念，G.康托尔引入了直线上的一些点集拓扑概念，探讨了前人从未碰到过的结构复杂的实数点集。这是集合论的开端。

1874年，G.康托尔越过“数集”的限制，开始一般地提出“集合”的概念。他给集合下了这样一个定义：把若干确定的有区别的(具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素，也说它属于该集合。有了集合概念，就可以定义出一系列有关的概念，集合论就产生了。

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