代数几何

现代数学的一个重要分支学科

代数几何，是现代数学的一个重要分支学科。它的基本研究对象是在任意维数的（仿射或射影）空间中，由若干个代数方程的公共零点所构成的集合的几何特性。这样的集合通常叫作代数簇，而这些方程叫作这个代数簇的定义方程组。

简介

代数几何是数学的一个分支，是将抽象代数，特别是交换代数，同几何结合起来。它可以被认为是对代数方程系统的解集的研究。代数几何以代数簇为研究对象。代数簇是由空间坐标的一个或多个代数方程所确定的点的轨迹。例如，三维空间中的代数簇就是代数曲线与代数曲面。代数几何研究一般代数曲线与代数曲面的几何性质。

代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的联系，如复分析、数论、解析几何、微分几何、交换代数、代数群、拓扑学等。代数几何的发展和这些学科的发展起着相互促进的作用。

发展和内容

用代数的方法研究几何的思想，在继出现解析几何之后，又发展为几何学的另一个分支，这就是代数几何。代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面。

代数几何学的兴起，主要是源于求解一般的多项式方程组，开展了由这种方程组的解答所构成的空间，也就是所谓代数簇的研究。解析几何学的出发点是引进了坐标系来表示点的位置，同样，对于任何一种代数簇也可以引进坐标，因此，坐标法就成为研究代数几何学的一个有力的工具。代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的。例如，阿贝尔在关于椭圆积分的研究中，发现了椭圆函数的双周期性，从而奠定了椭圆曲线理论基础。

黎曼1857年引入并发展了代数函数论，从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念。运用这个概念，黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量：亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量。并首次考虑了亏格g 相同的所有黎曼曲面的双有理等价类的参量簇问题，并且发现这个参量簇的维数应该是3g-3，虽然黎曼没有能严格证明它的存在性。在黎曼之后，德国数学家诺特等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。诺特还对代数曲面的性质进行了研究。她的成果给以后意大利学派的工作建立了基础。

从19世纪末开始，出现了以卡斯特尔诺沃、恩里奎斯和塞维里为代表的意大利学派以及以庞加莱、皮卡和莱夫谢茨为代表的法国学派。他们对复数域上的低维代数簇的分类作了许多非常重要的工作，特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基础，这些工作中存在不少漏洞和错误，其中个别漏洞直到目前还没有得到弥补。

20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20世纪30年代，扎里斯基和范·德·瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在此基础上，韦伊在40年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论，然后20世纪50年代中期，法国数学家塞尔把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基础，他在讨论班的讲义《代数几何基础》（EGA,SGA,FGA）成为该领域的圣经。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概型的概念是代数簇的推广，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中存在幂零元。

近年来，人们在现代粒子物理的最新的超弦理论中已广泛应用代数几何工具，这预示着抽象的代数几何学将对现代物理学的发展发挥重要的作用。

代数簇

定义

一个代数簇V的定义方程中的系数以及V中点的坐标通常是在一个固定的域k中选取的，这个域就叫做V的基域。当V为不可约时（即如果V不能分解为两个比它小的代数簇的并）,V上所有以代数式定义的函数全体也构成一个域，叫做V的有理函数域，它是k的一个有限生成扩域。通过这样的一个对应关系，代数几何也可以看成是用几何的语言和观点进行的有限生成扩域的研究。

代数簇V关于基域k的维数可以定义为V的有理函数域在k上的超越次数。一维的代数簇叫做代数曲线,二维的代数簇叫做代数曲面。

代数簇的最简单的例子是平面中的代数曲线。例如，著名的费马猜想（又称费马大定理）就可以归结为下面的问题：在平面中，由方定义的曲线（称为费马曲线）当n≥3时没有坐标是非零的有理数点。

另一方面，下面的齐次方程组在复数域上的射影空间中定义了一条曲线。这是一条椭圆曲线。

研究方向

人们对代数簇的研究通常分为局部和整体两个方面。局部方面的研究主要是用交换代数方法讨论代数簇中的奇异点以及代数簇在奇异点周围的性质。

作为奇异点的例子,可以考察由方程x2y3所定义的平面曲线中的原点(0,0)。这是一个歧点。　不带奇异点的代数簇称为非奇异代数簇。数学家広中平祐在1964年证明了基域k的特征为0时的奇点解消定理：任意代数簇都是某个非奇异代数簇在双有理映射下的像。

一个代数簇V1到另一个代数簇V2的映射称为双有理映射，如果它诱导有理函数域之间的同构。两个代数簇V1，V2称为双有理等价的，如果在V1中有一个稠密开集同构于V2的一个稠密开集。这个条件等价于V1和V2的有理函数域同构。由于这个等价关系，代数簇的分类常常可以归结为对代数簇的双有理等价类的分类。

研究重点

当前代数几何研究的重点是整体问题，主要是代数簇的分类以及给定的代数簇中的子簇的性质。同调代数的方法在这类研究中起着关键的作用。

分类理论

定义

代数几何中的分类理论是这样建立的：对每个有关的分类对象（这样的分类对象可以是某一类代数簇，例如非奇异射影代数曲线，也可以是有关的代数簇的双有理等价类），人们可以找到一组对应的整数，称为它的数值不变量。例如在射影代数簇的情形，它的各阶上同调空间的维数就都是数值不变量。然后试图在所有具有相同的数值不变量的分类对象组成的集合上建立一个自然的代数结构，称为它们的参量簇，使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时，对应的分类对象也在相应的代数结构中变化。

建立有较完整的分类理论的只有代数曲线、代数曲面的一部分，以及少数特殊的高维代数簇。现在研究得最深入的是代数曲线和阿贝尔簇的分类。

研究历程

与子簇问题密切相关的有著名的霍奇猜想:设X是复数域上的一个非奇异射影代数簇，p为小于X的维数的一个正整数。则X上任一型为(p,p)的整上同调类中都有代数代表元。

黎曼1857年引入并发展了代数函数论；从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念。用现代的语言，紧致的黎曼曲面就一一对应于抽象的射影代数曲线。黎曼还首次考虑了亏格g相同的所有黎曼曲面的双有理等价类的参量簇问题，并发现这个参量簇的维数应当是3g-3，虽然黎曼未能严格证明它的存在性。黎曼还应用解析方法证明了黎曼不等式：l（D）≥d(D)-g+1,这里D是给定的黎曼曲面上的除子。随后他的学生G.罗赫在这个不等式中加入一项，使它变成了等式。这个等式就是著名的F.希策布鲁赫和A.格罗腾迪克的黎曼-罗赫定理的原始形式（见代数函数域）。

概型理论的另一个重要意义是把代数几何和代数数域的算术统一到了一个共同的语言之下，这使得在代数数论的研究中可以应用代数几何中大量的概念、方法和结果。这种应用的两个典型的例子就是：①P.德利涅于1973年把韦伊关于ζ函数的定理推广到了有限域上的任意代数簇,即证明了著名的韦伊猜想,正是利用了格罗腾迪克的概型理论。②G.法尔廷斯在1983年证明了莫德尔猜想。这个结果的一个直接推论是费马方程xn+yn=1在n≥4时最多只有有限多个非零有理解，从而使费马猜想的研究获得了一个重大突破。

在另一方面，20世纪以来复数域上代数几何中的超越方法也得到了重大的进展,例如G.-W.德·拉姆的解析上同调理论，W.V.D.霍奇的调和积分论的应用，以及小平邦彦和D.C.斯潘塞的变形理论以及P.格里菲思的一些重要工作等。周炜良对20世纪前期的代数几何发展作出了许多重要的贡献。他建立的周环、周簇、周坐标等概念对代数几何的许多领域的发展起了重要的作用。他还证明了著名的周定理：若一个紧致复解析流形是射影的，则它必定是代数簇。

20世纪后期，在古典的复数域上低维代数簇的分类理论方面也取得了许多重大进展。在代数曲线的分类方面，由于D.B.芒福德等人的工作，人们对代数曲线参量簇 Mg已经有了极其深刻的了解。芒福德在60年代把格罗腾迪克的概型理论用到古典的不变量理论上，从而创立了几何不变量理论,并用它证明了Mg的存在性以及它的拟射影性。人们已经知道 Mg是一个不可约代数簇，而且当g≥24时是一般型的。对Mg的子代数簇的性质也开始有所了解。

代数曲面的分类理论也有很大的进展。例如，60年代中期小平邦彦彻底弄清了椭圆曲面的分类和性质；1976年,丘成桐和宫冈洋一同时证明了一般型代数曲面的一个重要不等式:с娝≤3с2,其中с娝和с2是曲面的陈数。同时，三维或更高维代数簇的分类问题也开始引起人们越来越大的兴趣。

参考书目

I.R. Shafarevich,basic Algebraic Geometry,Grundlehren der MatheMatischen Wissenschaften,213,SpringerVerlag,Berlin,1974.

D.Mumford,Algebraic Geometry I.Complex Projective varieties,Springer-Verlag,Berlin,1976.

R.Hartshorne,Algebraic Geometry, Springer-Verlag,Berlin,1977.

S.Iitaka,Algebraic Geometry, Springer-Verlag,Berlin,1982.

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