代数数

代数与数论中的概念

代数数是代数与数论中的重要概念，指任何整系数多项式的复根。

定义

形如（，n为正整数）的整系数（为整数，）多项式方程的根x则叫做“代数数”。

代数数可以定义为“有理系数多项式的复根”或“整系数多项式的复根”。第一个定义可以具体描述为：

设 z 为复数。如果存在正整数 n，以及 (n＋1) 个有理数，并且，使得：

则称 z 是一个代数数。

这个定义中，由于可以推出，其中整数分别等于，M 是 (n＋1) 个有理数分母的最小公倍数。所以“存在有理系数多项式使得z是其复根”可以推出“存在整系数多项式使得z是其复根”。另一方面，由于整数集合是有理数集合的子集，所以“存在整系数多项式使得z是其复根”也可以推出“存在有理系数多项式使得 z 是其复根”。这说明两个定义是等价的。

例子

例如√2是一个实代数数，它满足方程x2-2=0 。再如全体有理数及i (虚数单位，)等都是代数数。

每个有理数都是代数数，因为它满足方程 nx-m=0（m、n为整数，n≠0）。

每个高斯整数都是代数数，所谓高斯整数，是形如 a+bi 的复数，其中 a 和 b 都是整数。因为 a+bi 是方程 (x2-a2+b2)2+4a2b2=0 的复数解。

同理，实部和虚部都是代数数的复数也是代数数。

当a是有理数时，sin aπ、cos aπ、tan aπ、eaπi等也是代数数。

所有规矩数（即可以从单位长度的线段出发，通过尺规作图法做出的线段的长度数值）都是代数数。因为建立直角坐标系后可以证明，标准的尺规作图步骤的每一步都相当于计算一个次数不超过2的多项式方程，因此能够通过有限步做出的线段长度必然是有限个有理系数多项式迭代后得到的多项式的根，从而是代数数。

自然对数的底e和圆周率π都不是代数数。

性质

代数数在有理数下的“+”、“-”、“x”、“÷”运算中是封闭的，因此构成一个域，称为代数数域。

注意：代数数在平方和开方的运算中不是封闭的，例如2^(√2)，即2的根号2次方不是代数数，它是一个超越数。

以代数数作为系数的有限次多项式的根也是代数数。

当a为一个非零代数数时，sin a、cos a、tan a、e^a都是超越数。当a为一个大于0且不等于1的代数数时，ln a是超越数。

代数数域

两个代数数的和、差、积与商（约定除数不为零）也是代数数。可以验证，装备了有理数的加法、乘法运算的代数数集合构成一个域，有时也记为。每一个系数为代数数的多项式方程的根也是代数数。因此，代数数域是代数封闭域。实际上，它是含有有理数域的最小的代数封闭域，称为有理数域的代数闭包。

代数整数

代数整数是任何整系数首一多项式的根。显然代数整数是代数数的一部分，但代数数不全是代数整数。所有整数都是代数整数，其余的有理数则不是代数整数。代数整数的集合记作A，是代数数的子集。在某些上下文中，为了与代数整数区别，整数也被称作有理整数。

两个代数整数的和、差与积也是代数整数，这就是说，装备了整数的加法、乘法运算的代数整数集合构成了一个环，因此A代数中也被称为代数整数环。

与实数集的关系

代数数集包含了有理数集。然而，代数数集并不包含全部实数。代数数集是一个可数集，即所有代数数能与全体自然数建立一一对应，而实数集是不可数的无穷集，因此，一定存在不是代数数的实数。现已证明 π和e这些无理数不是代数数，但不是所有的无理数都不是代数数。不是代数数的数称为超越数。由此可见，就实数集而言，实数既可按有理数和无理数分为两类，又可按实代数数和实超越数分为两类。实代数数集是有理数集的自然扩充。

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