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代数整数环

特殊的交换整环

代数整数环(ring of algebraic integers)亦称整数环，是一种特殊的交换整环，代数数域K中的代数整数全体OK称为K的整数环，K是OK的商域，设L⊃K是两个数域，则OL是OK在L的整闭包，OL也是有限生成的OK模，OK是戴德金环，其理想可惟一(不计次序)分解为其素理想的乘积，OK是惟一析因环当且仅当OK是主理想环，这也等价于K的理想类数为1。由戴德金环上模结构定理(施泰尼茨(Steinitz，E.)(1912年)-卡普兰斯基(Kaplansky，I.) (1952年))知，OL ≌On-1K⊕J，式中n=[L∶K]，J是K中理想，J的理想类由L和K惟一决定。特别地，当J为主理想时(例如，当K的理想类数为1时总是这样)，有OL≌OnK，即存在ω1，ω2，…，ωn∈OL使OL=OKω1⊕…⊕OKωn。

基本介绍
代数整数环(ring of algebraic integers)亦称整数环，是一种特殊的交换整环，代数数域K中的代数整数全体OK称为K的整数环，K是OK的商域，设 是两个数域，则OL是OK在L的整闭包，OL也是有限生成的OK模，OK是戴德金环，其理想可惟一(不计次序)分解为其素理想的乘积，OK是惟一析因环当且仅当OK是主理想环，这也等价于K的理想类数为1。由戴德金环上模结构定理(施泰尼茨(Steinitz，E.)(1912年)-卡普兰斯基(Kaplansky，I.) (1952年))知， ，式中n=[L∶K]，J是K中理想，J的理想类由L和K惟一决定。特别地，当J为主理想时(例如，当K的理想类数为1时总是这样)，有 ，即存在ω1，ω2，…，ωn∈OL使OL=OKω1⊕…⊕OKωn。
代数整数
代数整数(algebraic integer)亦称整数，代数数的一种。它是有理整数(即自然数、零及其相反数)的推广。设α为复数，若存在系数为有理整数的首一(即最高次项系数为1)多项式f(x)使f(α)=0，则称α为代数整数。若上述f(x)的常数项为±1，则α称为单位，所有整数全体构成一个交换环I，其商域(或称分式域)即为代数数全体构成的域A，单位即是环I中的可逆元素。代数整数的一个显著特点是，它们不一定能进行惟一不可约因子分解，例如，
由此导致理想概念的引入，整数的概念也被推广到普通算术域F，若S是F的一个赋值集，S中赋值的赋值环之交集中元素称为S整数。
相关定理
定义1 代数数 叫作是代数整数(简称作整数)，如果存在一个系数属于Z的首1多项式 ，使得 。
引理1设 为代数数，因为 在Q上的极小多项式，则 为整数的充要条件是 。
系1 Q中只有有理整数才是(代数)整数。
定理1 以 表示二次域 (d是无平方因子的有理整数)中的全部整数所组成的集合，则当 时， ；而当d=1(mod 4)时， ，其中。
对于二次域K，可以直接验证定理1中求出的整数集合 事实上是K的子环。对于任意的数域K，Dedekind证明了K的整数集合 也是K的子环，换句话说，如果 和 均是K中的整数，则 和 亦是整数。这是一件不平凡的事情( 显然均是 中的整数，设想一下如何证明 也是整数)，我们需要给出整数的其他刻画方式。
定理2 对于 ，下面几个条件彼此等价：
(1) 为(代数)整数；
(2)环 的加法群是有限生成的；
(3) 是C的某个非零子环R中的元素，并且R的加法群是有限生成的；
(4)存在有限生成非零加法子群 使得 。
定理3 若 和 均是整数，则 也是整数，特别地，数域K中全部整数组成的集合 是K的子环。
代数整数环：将 叫作是数域K的(代数)整数环，有理数域Q的整数环就是Z，而二次域的整数环已由定理1给出，现在我们来给出分圆域 的整数环。
定理4分圆域K= 的整数环是 。
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