代数整数

数学术语

代数整数(algebraic integer)亦称整数。代数数的一种。它是有理整数(即自然数、零及其相反数)的推广。设a为复数，若存在系数为有理整数的首一(即最高次项系数为1)多项式f(x)使f(a)=0，则称a为代数整数。若上述f (x)的常数项为士1，则a称为单位。

代数数论

代数数论是数论的一个重要分支，它以代数整数，或者代数数域为研究对象。不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究。因此，代数数论是整数研究的一个自然的发展。代数数论的发展也推动了代数学的发展。

代数数论主要起源于对费马猜想的研究。费马猜想(不定方程(n>2)没有xyz≠0的整数解)的证明可归结为n=4及n为奇素数情形的证明。19世纪中叶，库默尔试图利用n次本原单位根ζ，把方程写成，从而证明费马猜想。但这需要有一个前提，即在分圆域Q(ζ)(添加单位根ζ到有理数域上生成的扩域)中，“整数”也像普通整数一样，可以唯一地分解成素数的乘积。但在狄利克雷的启发下，库默尔发现分圆域中的“整数”分解成素因子的乘积不具有唯一性。库默尔因此引入了“理想数”概念，每个“理想数”可以唯一地分解成素因子的乘积，这样建立了分圆域上的数论。戴德金把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域，奠定了代数数论的基础。

高斯关于二次域的研究是代数数论的另一个重要起源。1801年，高斯发表的著名著作《算术研究》，展示了他的一个杰出的思想：把有理数域和有理整数环上的许多初等数论问题，放到更大的域和环一一二次域和它的代数整数环上来研究，这也导致了代数数论的开端。

代数数论也是活跃的数学前沿理论。一方面是对一些古典问题得出新的结果。例如，1801年高斯曾提出过两个猜想：(1)只有有限多个类数为1的虚二次域;(2)存在无限多个类数为1的实二次域。关于(1)，1934年，海布雷恩证明了当d(k)(k为有理数域的二次扩域，d(k)为k的判别式)→∞时，hk(k的类数)→∞；1966年贝克，1967年斯塔克证明了类数为1的虚二次域的虚二次域只有9个：d=1，2，3，7，11，19，43，67，163。猜想(2)仍在研究之中。另一方面就是不断开辟新的研究领域，如数域的阿贝尔扩张理论。1898—1899年间希尔伯特提出一个著名的猜想：希尔伯特类域猜想，1907年富特文格勒证明了这个猜想。韦伯对推广希尔伯特类域做了大量工作，例如，推广了理想类群的概念，得到一些全新的结果。1920年，高木贞治应用韦伯的理想类群概念，推广了希尔伯特的结果，建立了完整的类域论。类域论已发展成为极其重要的、成果甚丰的数学领域。

代数数论的一大特点是，不仅由它可解决一系列整数规律问题，而且它的成果几乎可以用到每一个数学领域中。

代数数

代数数是一类复数。即满足代数方程的复数。是代数数论的基本研究对象之一。设α为复数，若存在系数为有理数的多项式f(x)使f(α)=0，则称α为代数数。当f(x)在有理数域Q上不可约时，f(x)的次数称为α的次数。添加代数数α到Q中得到域Q(α)，称为代数数域或数域。在有理数之外，历史上第一个被发现的代数数是，它的发现曾引起毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的惊恐。形如：

等的根式均为代数数；但五次以上的代数数不一定再能用根式表出。不是代数数的复数称为超越数，例如圆周率π.代数数的基本性质有：

1.全体代数数所成之集是一可数集.

2.两个代数数之和、差、积、商(除数不为0)仍为代数数.

3.一个代数数的次数是惟一确定的.

4.系数为代数数的代数方程的根仍然是代数数.

整系数(或有理系数)代数方程的根。它是整数经加、减、乘、除以及开有限次方得到的数。

例如，是一个代数数，因为它满足方程：x2+x-1=0。

一切用根式表示的数，都是代数数，但代数数不一定都能用根式表示，例如5次及5次以上代数方程的根，一般不能用根式表示。

代数整数概念

代数整数(algebraic integer)，亦称整数。代数数的一种。它是有理整数(即自然数、零及其相反数)的推广。设α为复数，若存在系数为有理整数的首一(即最高次项系数为1)多项式f(x)使f(α)=0，则称α为代数整数。若上述f(x)的常数项为±1，则α称为单位。所有整数全体构成一个交换环I，其商域(或称分式域)即为代数数全体构成的域A。单位即是环I中的可逆元素。代数整数的一个显著特点是，它们不一定能进行惟一不可约因子分解。例如，

由此导致理想概念的引入。整数的概念也被推广到普通算术域F。若S是F的一个赋值集，S中赋值的赋值环之交集中元素称为S整数。

代数整数性质

定义：如果α是一个有理数多项式：

的根，则称α为一个代数数。若P(x)的系数都是整数，则称α为一个代数整数。α所满足的次数最低的多项式称为α的极小多项式，极小多项式的次数称为α的次数。

显然，每个代数整数一定是代数数，反之不真实代数数与代数整数的极小多项式是唯一的。

定理1：一个有理数是代数整数当且仅当它是有理整数。

定理2：在通常的复数加法与乘法下，全体代数数构成一个域，全体代数整数构成一个环。

定理3：假设α是多项式：的根，如果都是代数数，那么α一定是代数数；如果都是代数整数，且a0=1，那么α一定是代数整数。

定理4：如果f(x)与g(x)是域F上的两个多项式，且g(x)≠0，那么存在唯一的q(x)，r(x)∈F[x]，使得：。这里r(x)=0，或者deg r(x)≤deg g(x)。

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