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有理映射

有理映射

在代数几何中，有理映射是定义在概形的稠密开集上的态射。有理映射及由此引生的双有理等价是古典代数几何学的主要对象。

簇定义
设X和Y为簇，有理映射指的是的等价类，其中U为X的非空开集，为态射。并且与等价，当且仅当在上，与一致。
概形定义
固定概形 。考虑所有的资料 ，其中 是稠密开集，而 是态射；这些资料代表了 上“部分定义”的态射， 代表 的定义域。定义下述等价关系：
此外，注意到稠密性保证 也是 中的稠密开集。当 不可约，则所有非空开集都是稠密的。若再假设 既约而 是分离概形，则任一等价类有唯一一个定义域最大的代表元。
从概形到的有理映射是其中的一个等价类 。
若是从到，而是从到的有理映射，则一般并不能定义其合成。但是当的像（对某个，因而对每个代表元 ）在中稠密时，对每个的代表元 ， 皆非空，此时可以定义 。
同理，若 与 都是 上的概形，也可以类似地定义 有理映射。
定义延伸
有理映射是代数几何中常见的对象。
设和是两个代数簇， 如果存在一个开集，使得补集在中的余维数至少是2，并且存在一个定义在上的映射，那么我们就说是到的一个有理映射。
有理映射并非真正的映射。
有理映射是几乎处处有定义的态射，那些没定义的点全体只占有很小的维数。
代数簇上的有效除子的线性系一般都可以诱导一个从该簇到射影空间的有理映射。
如果两个代数簇之间存在有理映射和 使得那么就称X和Y是双有理等价， f 称为双有理映射。凡是双有理等价的代数簇，它们具有很多相同的不变量 ， 比如亏格等等。
代数曲面的经典理论告诉我们，任何光滑曲面都双有理等价于一个所谓的极小模型。 除了直纹面外，任何曲面对应的极小模型都是唯一的，并且是光滑的。
在高维代数几何中， 人们也在试图寻找高维代数簇在双有理等价意义下的极小模型，这一研究分支称为双有理几何。
例子
设为整环，设 、 ，则从 到 的任何有理映射 有唯一的表法：
其中 是多项式。该有理映射可以在 上定义。
此外，对于不可约概形 ，其上的有理函数一一对应到从 到 的有理映射。
扩展
支配有理映射与双有理等价
若对某个有在Y中稠密，则有理映射为支配有理映射。
由于支配有理映射可以作合成，定义从概形 到 的双有理等价为一个支配有理映射 ，使得存在另一个从 到 的支配有理映射 ，使 、 。
设X和Y是任意两个簇，则下列两个集合一一对应
(1)从X到Y的支配有理映射；
(2)从K(Y)到K(X)的k代数同态。
以下考虑域上的不可约代数簇及其间的有理映射。有理映射的地位在于：透过有理函数的“拉回”运算，代数簇之间的支配有理映射对应到函数域之间的映射，而双有理等价对应到函数域的同构。由此可知代数簇的双有理等价范畴等价于函数域的反范畴。
双有理等价的例子
双有理等价的定义较同构宽，因为我们容许态射在某维度较低的闭集上未定义。一个例子是与，两者双有理等价，而并不同构。原因如下：中的任两条闭曲线都有交点，而在}中，与 不相交，因而与并不同构。
另一方面，的函数域可以在仿射开集上计算，此开集的坐标环是，其函数域是；这也是的函数域，于是二者双有理等价。若细审上述论证，事实上能写出所求双有理等价的式子。
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