亏格

代数几何和代数拓扑中最基本的概念之一

亏格是代数几何和代数拓扑中最基本的概念之一。

简介

亏格是代数几何和代数拓扑中最基本的概念之一。

定义：若曲面中最多可画出n条闭合曲线同时不将曲面分开，则称该曲面亏格为n。

以实的闭曲面为例，亏格g就是曲面上洞眼的个数。

拓扑

定向表面

连接的，可定向的表面的亏格是一个整数，它表示沿着不相交的闭合简单曲线的最大切割次数，而不会导致曲面断开。或者，可以通过关于闭合表面的关系来定义欧拉特征X，其中g是亏格。对于b边界分量的曲面，方程式为。按照外行人士的说法，它是一个物体的“孔”数量（“孔”在圆环孔的意义上解释;空心球体在这个意义上被认为是零孔）。一个圆环有一个洞，球体为0，概述所示的绿色表面有2个孔。

举例

（1）球体S2和圆盘的亏格都是零。

（2）圆环有一个，一个咖啡杯的表面和手柄一样也都只有一个。

在基本多边形的文章中给出了g类表面的明确构造。

简单来说，可定向表面亏格的值等于它具有的“孔”的数量。

不定向表面

连接的，不可取向的封闭表面的不定向亏格，表示连接到球体的交叉数量的正整数。或者，可以通过关系来定义关于欧拉特征X的闭合表面，其中k是不定向属性。

例如：

射影平面有不定方向的亏格。

克莱因瓶有两个不定方向亏格。

结

结K的属被定义为K的所有塞弗特表面的最小类。结一个塞弗特表面是一个多边形，边界是结，即与单位圆同构。这种表面的属被定义为通过沿着边界粘合单位盘而获得的两个多面体的亏格。

柄体

三维手柄体的亏格是整数，表示沿着嵌入式盘的最大切割次数，而不会导致合成三维多面体断开。它等于其上的手柄数量。

例如：

（1）球有零个亏格。

（2）实心圆环有一个亏格。

图论

图的亏格是最小整数n，使得可以绘制图而不在具有n个柄（即n个亏格的取向表面）的球体上自己绘制。因此，平面图具有0个亏格，因为它可以在没有自交的球体上绘制。

图的不定向亏格是最小整数n，使得可以绘制图而不在具有n个交叉盖（即，不可取向）亏格n）的不可取向表面的球体上自相交叉。（这个数字也叫demigenus。）

欧拉亏格是最小整数n，使得图可以绘制而不在具有n个十字帽的球体上或在具有n / 2个柄的球体上交叉。

在拓扑图论中，有一些组的亏格的定义。 Arthur T. White介绍了以下概念。组G的亏格是G的（连接的，无向的）Cayley图的最小亏格。

图类亏格问题是NP完整的。

代数几何

任何投影代数方案X有亏格的两个相关定义：算术亏格和几何亏格，当X是具有定义域的代数曲线时，复数，如果X没有奇异点，则这些定义与应用于X的Riemann表面的拓扑定义（其复数点的多边形）一致。例如，代数几何的椭圆曲线的定义是连接1类非奇异投影曲线与给定的理性点。