射影空间

几何对象

射影空间是代数几何中最简单的一类几何对象。

定义

基本定义

设V为域上的线性空间等价关系

即两个向量等价当且仅当其在V中张成同一条直线。

与V相伴的射影空间定义为

从几何上说，射影空间因而是V中所有通过原点的直线的集合。

的维数为

等价定义

域上射影空间为上n+1维仿射空间的一维子空间，即中所有过原点的直线的全体构成的集合。

上n维仿射空间的一点紧化为上射影空间。

等价地，把n维球面Sn所有对径点分别粘合起来，得到的几何物体称为射影空间。它的维数就是n。

性质

n维射影空间是最简单的不可定向的单连通紧流形（n为偶数时不可定向，奇数时可定向），也是最简单的代数簇。

n维射影空间可以用若干个开集覆盖住，每个开集恰是n维仿射空间。

例子

射影直线

射影直线的定义是：在欧氏直线上添加一个无穷远点后得到仿射直线，在仿射直线上，如果把普通点与无穷远点同等看待而不加区分，那么这条直线就叫做射影直线。根据上述约定以及射影直线的定义，我们通过区别欧氏直线与射影直线来理解射影直线的形象，比如：欧氏直线是不封闭的，一点分直线为两部分，三点排成唯一顺序。射影直线是封闭的，一点不能分直线为两部分，三点不能排成唯一顺序，所以，可以选取圆作为射影直线的模型。

通俗的讲，就是一条直线在添上一个无穷远点，组成的新“直线”。

确切的讲，就是射影空间中一条一维线性子簇称为射影直线（就是说，由一组一次齐次方程得到的解空间是一维的，这个解空间称为射影直线）。

射影直线是几何里最简单的完备代数簇。它也被称为有理曲线。

我们知道球面到射影平面有一个球极投影，它把北极点映到射影平面的无穷远点，把球面上的圆环映到射影直线。

在这个投影下，我们发现所谓的圆，椭圆，双曲线，抛物线，原来都是某条射影直线的一部分。它们在球面上的原像都是圆环，只是因为所处的位置不同，所以投影在射影平面上，才会显得千差万别。实际上都是同一个东西而已。

射影平面

射影平面就是2维射影空间。它可以视为平面添上一条无穷远直线。它是代数几何、射影几何里最基本的对象。射影平面的定义比较抽象，它在射影平面的理解中是必不可少的一个环节。射影平面的定义是：欧氏平面上添加一条无穷远直线即可得仿射平面，在仿射平面上，如果对普通元素与无穷远元素不加区分，即可得射影平面。结合射影直线的定义可得出对射影平面的如下理解：射影平面上的直线是封闭的，且任意两条直线有一个交点，每一条直线上有唯一一个无穷远点，射影平面上有唯一一条无穷远直线。根据上述的理解，还可得出射影平面与欧氏平面的不同，如：在欧氏平面上一条直线可以把平面分为两个区域，两条相交直线可以把平面分为四个区域；而在射影平面上，一条直线并不能把该平面分为两个区域，因为连接两个点的线段有两个，其中只有一个线段与另一直线相交，而另一线段一定不与此直线相交。两直线只能把射影平面分为两个区域，两部分和Ⅱ的两部分都是相通的，而Ⅰ、Ⅱ两部分是不相通的。因为在射影平面上，直线是封闭的，且两直线有且仅有一个交点。

用射影平面的模型来理解射影平面的形象

在上述理解的基础上,为了进一步理解射影平面的整体性质,给出射影平面以下的几种模型。

模型一：

我们知道，默比乌斯带的特点是具有单侧性，即沿着这带子上任一处出发涂一种颜色，则可以不越过边界将它全部涂遍(即原纸带的两面都涂上同样的颜色)。我们从下面这模型出发，借助于默比乌斯带的单侧性来说明射影平面也是单侧的。我们可以作一个默比乌斯带，它是射影平面的一部份。如果把默比乌斯带的两个同样的边界都粘和起来，就可以得到射影平面。我们可以想象得出射影平面的单侧性和封闭性。在欧氏空间里，我们只能看到射影平面的一部分。

模型二：

射影平面的模型还可以如下方式给出，设在欧氏空间中给定一个原点O为球心的球面，当把球面上对径点粘和为一点，视为射影点，并把对径点粘和为一点的球面上的大圆视为射影直线，则得到的图形即为射影平面的一个模型。

在这模型中，射影直线都是封闭的，并且任意两条射影直线都相交于一点。而且，是为了使得中心射影成为一一对应，才给平行线添加交点，引进了无穷远点。从而由欧氏直线得到仿射直线，由仿射直线得到射影直线，而由欧氏平面得到仿射平面,由仿射平面得到射影平面。在这里，此射影平面的模型还可以与仿射平面建立一一对应关系。事实上，取定与给定球面相切于一点的仿射平面α，以球心O为射影中心建立此模型Ψ到仿射平面α的中心射影，在此中心射影下，对于Ψ上的Ao点，即球面上的一对对径点A和B，从球心O作通过A和B两点的直线交仿射平面于点C，则点Ao与C对应，而由位于过球心O，平行于α的欧氏平面上的球面大圆所决定的射影直线，则对应于仿射平面上的无穷远直线。这样，就可以建立α上的点与Ψ上的点之间的一一对应。

模型三：

射影平面还可以有其它的模型。取过空间一点O的全部直线和平面，称为一个把。对于仿射平面α上任一点，对应于把上的一条直线OA，α上的任意一条直线l对应于把里的一个平面β。把的每一条直线称为一个“点”，其中每一个平面称为一条直线，则这个把也是射影平面的一个模型，可把这模型称为直线把模型。在这个模型里,满足两直线交于一个点。对于上述所讨论的模型，是从通常空间加以改造而得出的，这有助于我们理解射影平面的结构与性质。

综上所述，在射影平面上，直线是封闭的，每一条直线上都有一个无穷远点，两条直线有且仅有一个交点，射影平面从局部上看与欧氏平面相同，而从整体看，它是一个具有单侧性的封闭曲面。

全国各地天气预报查询

上海市

云南省

云南省

云南省

云南省