代数系统理论

数学系统理论分支

代数系统理论(algebraic system theory)是数学系统理论的一个分支，它通过对大量原子系统，赋以函数变换和各种互连结构以形成复杂多样的系统特性，并进而研究系统变量集合及其运算的代数性质，以及由此形成的系统的代数结构，它可突出不同类型系统的共同特点，从而扩大系统理论的应用范围，其主要内容包括定义在一般的集合和映射运算上的半群、环、模上的系统的各种模型及其主要性质，在理论上和应用中都有重要意义。为给定函数变换环节，必须说明其定义域、值域和变换关系，而互连结构则包含通常的串联、并联及其形成的反馈结构等，通过大量原子系统的组合、叠加，可以得到极为复杂的具多层次结构的大系统，特别是采用群、环、域、模等代数系统和相应的同态变换，可以得到多种不同的系统理论以描述各种事理过程，例如，集同态系统、半群同态系统、模同态系统等，从而可大为拓广系统理论的应用范围。

基本介绍

代数系统理论是近世代数(抽象代数)研究的中心问题，是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它通过对大量原子系统赋以函数变换和各种互连结构，形成复杂多样的系统特性，并进而研究系统变量集合及其运算的代数性质以及由此形成的系统的代数结构。计算机技术的发展和普及，使得代数系统理论在计算机科学中得到了非常广泛的应用，并已成为从事计算机应用开发的研究人员的基本工具。在诸如可计算性、计算的复杂性、数字结构的抽象刻画、程序设计语言语义学等领域中都是以代数结构作研究工具的。

代数系统

代数系统(algebra system)是抽象代数学研究的对象，是20世纪20年代在初等数学基础上发展起来的一门学科，它在数学各领域均有应用，近年来并大量用于计算机领域。

抽象代数学是研究由非特定的任意元素组成的集合及定义在元素之间满足若干条件或公理的代数运算所组成的系统的数学分支。设S为一非空集合， S上的n维笛卡儿积Sn(见关系)到S的映射(见函数)f：Sn→S称为S上的n元运算。最常见的是一元运算S： S→S和二元运算f：S2→S。如在实数集上求相反数是一元运算，实数的加法和乘法是二元运算。非空集合S和S上的k个运算f1，f2，…，fk组成的系统，称作代数系统，记做〈S，f1，f2，…，fk〉。代数系统也称作代数结构。代数系统包括半群、群、环、域和格等。下面用Z、Q、R和C分别表示整数集合、有理数集合、实数集合和复数集合。

二元运算的性质

在代数系统中常将一元运算f(a)记为*a，二元运算f(a，b)记为a*b。设·与*为非空集合S上的二元运算。①幂等律：若∀a∈S，a*a=a，则称*满足幂等律。 ②交换律：若∀a， b∈S， a*b=b*a，则称*满足交换律。 ③结合律：若∀a， b， c∈S， a*(b*c)=(a*b)*c，则称*满足结合律。④分配律：若∀a， b， c∈S， a·(b*c)=(a·b)*(a·c)且(b*c)·a=(b·a)* (c·a)，称·对*满足分配律。⑤吸收律：若·与*满足交换律且∀a， b∈S， a*(a·b)=a， a·(a*b)=a，则称· 与*满足吸收律。例如，集合的并、交运算满足幂等律、交换律、结合律，并对交和交对并满足分配律，并与交满足吸收律; 实数集合上的加法、乘法都满足交换律和结合律，但不满足幂等律。乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律，加法与乘法不满足吸收律; 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。

二元运算的特异常数

设*为集合S上的二元运算。①单位元：设e∈S，若∀a∈S， e*a=a*e=a，则称e为S关于运算*的单位元。 ②零元：设θ∈S，若∀a∈S， θ*a=a*θ=θ，则称θ为S关于运算*的零元。③逆元：设*为S上的二元运算，e为单位元，a∈S，若存在b∈S使得 b*a=a*b=e，则称b为a关于运算*的逆元，常记作 a。此时又称a是可逆的。例如，在实数集合上， 0是关于加法的单位元，而1是关于乘法的单位元。 0是关于乘法的零元。对任意的z，z关于加法的逆元为-z：当z≠0时，z关于乘法的逆元为1/z。

群论

群论是一种重要的代数系统。

半群：若G上的二元运算*满足结合律，则称代数系统〈G，*〉为半群。

独异点：有单位元的半群。

群：每个元素都可逆的独异点，即群是满足下述3个条件的代数系统〈G，*〉： ①二元运算*满足结合律， ∀a， b， c∈G， a*(b*c)=(a*b)*c; ②G有单位元e，∀a∈G， a*e=a*e=a;③G的每一个元素a 有逆元a-1，a*a-1=a-1*a=e。群〈G，*〉可简记为G。例如，任一集合S的幂集P(S)关于并(交)运算构成独异点，其中空集∅(集合S)是单位元; 设∑是一非空集合，∑*是∑中有限长字符串的全体， “○”表示两个字符串的连接，如abaobba=ababba，则〈Σ*，○〉是一个独异点，其中空串是单位元;整数集合关于加法构成一个群，称作整数加法群，类似地还有有理数加法群、实数加法群;设n是正整数，记 Zn={0，1，…，n-1}，Z*={1，2，…，n-1}，定义模n加法⨁和模n乘法⨂如下：∀x，y∈Zn， x⨁y= (x+y)mod n，x⨂y=xy mod n，则〈Zn，⨁〉是群，称作模n加法群; 〈Z*，⨂〉是独异点;当n为素数时，〈Z*， ⨂〉是群，称作模n乘法群。

子群：设〈G， *〉， H⊆G是一非空集合，若〈H， *〉构成一个群，则称H是G的子群。例如，有理数加法群是实数加法群的子群，整数加法群是有理数加法群的子群、也是实数加法群的子群。

有限群与无限群：只有有限个元素的群称为有限群，否则称为无限群。有n个元素的有限群称作 n阶群。例如，模n加法群是n阶有限群，整数加法群是无限群。n阶群的子群的阶必是n的因子。

交换群：运算是可交换的群，又称阿贝尔群。例如，整数加法群是交换群; 全体n阶可逆矩阵关于矩阵乘法构成群，它不是交换群。在群中，a*b 常简记作ab，n个a的运算a*a*…*a记作an，称作 a的n次幂，规定a0=e。

在群中，①满足消去律，即若ab=ac(或ba=ca)，则b=c; ②方程ax=b和xa=b均有唯一解，它们的解分别为x=a-1b和x=ba-1。

循环群：一类最简单且应用广泛的群。若群G 的每一个元素都可以表示成某个元素a的幂，则称 G是循环群，a是G的生成元，记做G=〈a〉。n阶循环群可表示成{e，a，a2，…，an-1}，无限循环群可表示成{e，a，+，an，…}。例如，整数加法群是无限循环群，有两个生成元1和-1;模n加法群是循环群，1是一个生成元，还可能有其他的生成元。如模10加法群有4个生成元1，3，7和9。循环群都是交换群，循环群的子群都是循环群。

环和域

在非空集合S上定义两个二元运算+和·(分别称为“加法”和“乘法”)。若代数系统〈S，+〉是交换群，〈Z，·〉是半群，且·对+满足分配律，即① 加法+满足结合律和交换律，有单位元0，每一个元素都有逆元; ②乘法·满足结合律; ③·对+满足分配律， ∀a， b∈S， a·(b+c)=(a·b)+(a·c)， (b+c)·a= (b·a)+(c·a)，则称代数系统〈S，+，·〉为一个环。在环中，加法的单位元0常称为零元，a的加法逆元称作负元，记作-a。乘法可交换的环称作交换环。

设〈S，+，·〉是一个环。如果乘法·有单位元、是可交换的，且∀a， b∈S， a≠0且b≠0蕴涵ab≠0，则称〈S，+，·〉是整环。如果〈S*，·〉也构成群，其中S*=S-{0}，则称〈S，+，·〉是除环。乘法·是可交换的除环称作域。

例如，有理数集、实数集和复数集关于加法和乘法都构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。整数集关于加法和乘法构成整环。对任意的整数n≥2，〈Zn， ⨁， ⨂〉是环; 当n是素数时，〈Zn，⨁， ⨁〉是域。

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