代数闭包

数学概念

代数闭包(algebraic closure)是一个域的最大代数扩域。若域F的代数扩域Ω为代数闭域，则称Ω为域F的一个代数闭包。一个域F的代数闭包总是存在的，并且在F同构意义下惟一。这个基本定理来自施泰尼茨(Steinitz，E.)。设K是域F的扩域，在K中F上代数元的全体组成的子域A称为F在K内的代数闭包，它是F在K内的最大代数扩域。特别地，若F=A，则称F在K内是代数闭的。

概念

代数闭包(algebraic closure)是实线性空间中的集合的代数意义下的闭包。设A为实线性空间X中的集合。A的代数闭包是指这样的点b∈X的全体：存在h∈X，对于任何ε>0，存在λ∈[0，ε]，使得b+λh∈A。A的代数闭包常记为acl(A)。如果A=acl(A)，那么A称为代数闭集。它也是X在以代数开集为开集的拓扑意义下的闭集，即代数闭集的余集必定是代数开集；反之亦然。代数闭包的概念在叙述凸集分离定理时也起重要作用。

有的文献定义代数闭包时，要求对于任何λ∈(0，ε)都有b+λh∈A。这时代数闭集就不再是代数开集的余集。但当A是多于一点的凸集时，由这两种定义得到的代数闭包是相同的。

代数闭域

代数闭域是一类重要的域。指次数大于1的多项式均可分解的域。若域K上多项式环K[x]中的每一个次数大于零的多项式在K中都有一个根，则称K为代数闭域。从而在K[x]中每个次数大于零的多项式能分解为一次因式之积。1910年，施泰尼茨(Steinitz，E.)在他发表的基本论文中首先证明：每个域都可以经代数扩张得到一个代数闭域。

凸集分离定理

凸集分离定理是凸集理论的最基本的定理。它是指在很弱的条件下，两个不相交的凸集总可用超平面分离。设A，B为实线性空间X中的两个非空子集。

为X中的一个超平面。如果对于任何x∈A和y∈B，有：

那么称超平面H分离A和B；如果不等号中有一个是严格的，那么称H严格分离A和B；如果存在ε>0，使得任何x∈A和y∈B满足：

那么称H强分离A和B。基本的凸集分离定理如下：如果A-B凸，其相对代数内部icr(A-B)非空，且不包含原点，那么A和B可用超平面分离；如果同时还有其代数闭包acl(A-B)不包含原点，那么A和B可用超平面强分离。注意到有限维空间中的凸集的相对内部总非空，由此可得，R中的两个不相交的凸集总可用超平面分离。

在拓扑线性空间X中讨论凸集分离定理，常要求所用的超平面是闭的.这时基本的凸集分离定理为：如果A-B凸，其内部Int(A-B)非空，且不包含原点，那么A和B可用闭超平面分离；如果同时还有A-B的闭包cl(A-B)不包含原点，那么A和B可用闭超平面强分离。因为一般的拓扑线性空间中可能根本不存在闭超平面，所以有内部非空的凸集的存在也是闭超平面存在的充分必要条件，其中必要性由超平面形成的开半空间是内部非空的凸集而得。当X是局部凸空间(包括巴拿赫空间)，即它具有零的凸邻域基时，上述内部可改为相对内部，且在后半部分可不要求A-B的内部或相对内部非空。一种常用的形式如下：设A是局部凸空间X中的闭凸集，B是X中的紧凸集。如果A和B不相交，那么它们可用闭超平面强分离。

凸集分离定理有很多等价定理，其中最著名的是哈恩-巴拿赫定理。它是凸分析的基础，也在基础数学与应用数学的许多领域中起着重要作用。这一定理有很直观的形象：平面上的两个不相交的凸集可用直线把它们分离，但是其一般情形的证明必须用选择公理或其等价定理(佐恩引理、超限归纳法等)。定理的雏形是20世纪初由闵科夫斯基(Minkowski，H.)提出的。

施泰尼茨

德国数学家。生于德国西里西亚(Silesia)(今属波兰)，卒于基尔(Kiel)。1894年获得博士学位，后任教于布雷斯劳(Breslau)工业学院(1910～1920)和基尔大学(1920—1928)。他对抽象域进行了综合的研究，著有《域的代数理论》(AlgebraischeTheorie der Körper，1910)。施泰尼茨认为，每一个域K都可以从它的素域(即K的所有子域的公共元素所构成的子域)出发，经过如下的添加而得到：首先作一系列(可能无限多的)超越添加(transcendentaladjunction)得到一个超越扩张，然后对这个超越扩张又作一系列代数添加。如果一个域K’能够从一个域K经过一串单纯代数添加而得到，那么就称K’为K的一个代数扩张。施泰尼茨证明了，对于每一个域K，存在一个唯一的代数封闭域K’，使得K’是K的代数扩张。他还研究了伽罗瓦方程理论在域中的有效性问题。

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