伊辛模型

描述物质相变的随机过程模型

伊辛模型（Ising model）是一类描述物质相变的随机过程（stochastic process）模型。物质经过相变，要出现新的结构和物性。发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，又称合作系统。

发展历史

伊辛模型由德国物理学家威廉·楞次（Wilhelm Lenz）在1920年提出以描述铁磁性物质的内部的原子自旋状态及其与宏观磁矩的关系。1924年，楞次的学生Ernst Ising求解了不包含相变的一维伊辛模型。20世纪30-40年代，劳伦斯·布拉格（Lawrence Bragg）、E. J. Williams、汉斯·贝特（Hans Bethe）、Rudolf Peierls等学者使用平均场近似理论（mean-field theory）对二维伊辛点阵模型（two-dimensional square-lattice Ising model）进行了研究。1944年美国物理学家拉斯·昂萨格（Lars Onsager）得到了二维伊辛模型在没有外磁场时的解析解，即Onsager解。

理论

模型

这里以二维伊辛点阵模型（two-dimensional square-lattice Ising model）为例对伊辛模型进行说明。二维伊辛点阵模型是一个空间随机场，其中任意点的状态可有两个取值，并仅受到与其邻接的点的影响：

式中为与邻接的点的集合，求和项被称为外部场（external field），是模型参数，当时，随机场所有点的符号（正负）相同、当时，随机场所有点的正负相反、当时，随机场间的点与其邻接点之间没有相互作用，按均等概率取正或负值。

伊辛模型通常被用于模拟铁磁性物质（铁、钴、镍）的结构并对其在铁磁性状态和非铁磁性状态之间的相变（phase transition）进行理论描述。当铁磁性物质的温度低于居里温度（Curie temperature）时，其内部的原子会按特定方式自旋从而产生宏观磁矩。对应伊辛模型中或的情形，前者表现为铁磁性（ferromagnetic），后者表现为反铁磁性（anti-ferromagtic）。当温度高于居里温度时，原子自旋的取向非常紊乱，不产生净磁矩，对应的情形。

平均场理论

Weiss分子场理论（Weiss molecular field theory）

Weiss分子场理论将伊辛模型近似为点的概率分布的乘积：对上式右侧取对数，并考虑到概率分布需要表示所有邻接点对其自身的影响，可得如下展开：

即概率分布可表示为该点邻接点的状态的期望叠加一常数。带入二维伊辛点阵模型的表达式后可得：

由于点的概率分布仅有正/负两个取值：，由此得到：

Bragg-Williams平均场理论（Bragg-Williams mean-field theory）

Bragg-Williams平均场理论认为，某一阵点上的自旋取某一方向的几率同近邻阵点上的自旋取向无关，只同自旋在该方向的数目成正比。每个阵点上有一平均磁场，自旋在阵点上的取向只同该磁场有关。用这种方法可求得下列公式：式中是每个自旋的磁矩，是每一阵点的最近邻数，是外磁场强度，是热力学温度，模型参数在式中表示自旋同向的最近邻对之间的相互作用能，是玻耳兹曼常数。每个自旋上的磁化强度可表示为：

式中分别代表自旋向上和向下的总阵点数，。

将上式应用于铁磁性物质的性质，可以得到如下结论：取为临界温度（居里温度），当温度高于临界温度且没有外磁场时，，物质不具有铁磁性；当温度低于居里温度时，，磁化强度取正值或负值，铁磁性物质存在相变。这个结论对一维、二维、三维点阵都应成立，

研究表明，二维、三维伊辛模型在临界温度以上仍有相变，即平均场理论在铁磁性物质处于临界温度以上时有局限性。

求解

一维情形

考虑具有N个自旋的直线链，每个自旋仅同它的两个最近邻自旋及外磁场相互作用。相互作用的总能量即由所确定的位形能量是：

式中是对最近邻自旋对求和，表示对所有自旋坐标求和。由上式可得配分函数的形式为：

定义一个2×2的矩阵，其矩阵元具有形式：。因为点只有正/负两个可能取值，该矩阵可表示为：

如果采用周期性边界条件，即，或设想将直线链弯成闭合的圆链，并将初端与尾端相接，则配分函数有如下表示：

式中表示矩阵的迹。由此计算可以求出配分函数。另对于长链，有：。即当外磁场为0时，对于磁化强度有。即一维伊辛模型没有自发磁化。在一维伊辛模型中，不论顺磁性或逆磁性，都不会实现有序的状态。如对逆磁性的情形，在绝对零度时，所有自旋取向相同时处于能量最低的状态。但如果热力学温度不等于零，是有限的，则平均位形由两种相反的、相互竞争的趋向所决定。一个是各个自旋的取向完全一致，使能量最低；另一个是各个自旋的取向为随机的，使熵最大。由于一维伊辛模型中每个自旋没有足够多的最近邻自旋，因而不可能出现所有自旋取向完全相同的情况。

二维情形

Onsager解

20世纪40年代Lars Onsager对伊辛模型采用解析法得到了严格解，作出了突出的成就。这种方法的基本点，是设每个阵点的自旋变数可取+1和－1两个值,考虑阵点上自旋的某个位形，计算每个自旋同最近邻自旋的相互作用能量以及同外磁场相互作用能量，再对全部可能的位形求和，用矩阵的方法求出配分函数，从而得到各个热力学函数。

二维伊辛点阵的阵点数为L×n=N。处理二维空间问题的方法与一维的类似，只需将一维的每个阵点当作一列，并逐列相加求和即可。

以Sl表示第l行的所有自旋坐标的集合　上标l(l=1，2，…，L)代表行,下标(1，2，…，n)代表列。边界条件为。即要求每一行的第n+1列的位形与第1列的相同,每一，Sl有2n个值。整个点阵的位形由 {S1，S2，…，SL}确定。考虑最近邻自旋对以及自旋同外磁场的相互作用，则配分函数可写成为将上式表示成矩阵的形式,引入三个矩阵V1、V2、V3，它们的矩阵元分别定义为　第一式反映不同行最近邻自旋对的相互作用能量，它有2n×2n个；第二式反映同一行最近邻自旋对的相互作用能量，它有2n个；第三式反映同一行各个自旋与外磁场的相互作用能量，它也有2n个。为了计算方便，在补上一些“0”元素后，可把V2、V3扩大成2n×2n矩阵的对角矩阵。可以证明　 Z1=tr(V1V2V3)L。当L→∞时,求L×n矩阵的本征值问题就变成求解2n×2n矩阵的本征值问题。H.A.克喇末和G.H.万尼尔等人曾用数字解计算过有限的几项，他们计算到n=5，发现当n为有限的情形下，没有相变。　昂萨格在求解时，设外磁场强度H=0,因而V3=1。计算结果表明：高温时,T＞Tc(临界温度)，矩阵V=V1V2只有一个最大本征值υ+；低温时，T＜Tc，矩阵V=V1V2有两个本征值，当n→∞，L→∞时，配分函数为并得出平均每个自旋的自由能f为若，则上式右边第二项被积函数θ(v)满足 chθ(v)=ch2βch2β'cosvsh2βsh2β┡。用数值计算,通过上述二式可算出T→Tc时的各个热力学量，得到以下具体结果，

-f=-fc=kTc(0.9296…)，

S=-Sc=kln(1.358)。

其中S为每个自旋的熵。式中的临界温度Tc满足方程或－kTc=2.269185ε。在Tc附近，每个自旋的比热容可表示为

可见在T=Tc时，自由能、熵以及内能是连续的，这意味着在T=Tc时，发生的相变不包含潜热。但是时，作为上述热力学函数的导数，比热容是对数发散的,无论从高温端还是低温端趋于Tc(即T→Tc+0或T→Tc-0)，比热容с的值是相同的。

为弄清T=Tc处相变的细节，还需进一步考虑自发磁化（即计算自由能对磁场强度H的导数，再让H=0）。杨振宁于1952年采用微扰法得到了很好的结果。他证明自发磁化强度m(0,T)可表为式对应于Tc的值。

其它

存在外磁场的二维伊辛模型和更高维情形的伊辛模型使用平均场近似理论进行研究，其解析解没有被发现，或被认为没有解析解。

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