随机过程

概率术语

随机过程X(t)是一组依赖于实参数t的随机变量，t一般具有时间的含义。随机过程{ X(t), t∈T }可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S 。考察某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，这是一个随机变量，但若考察关于这个时间段内任一时刻t1，从t0到t1接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程。

基本简介

一族无穷多个、相互有关的随机变量，就是随机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。

随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。

随机过程的研究

研究方法

研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：

一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度论、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。

实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。

研究内容

主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。

中国学者在平稳过程、马尔科夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。

数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。给定概率空间 (Ω, F, P)，随机变量 X(ω) 是定义在样本空间 Ω 上，取值于 R 的可测函数，随机过程 X(t)是以参数 t 为指标的一组随机变量，可看作二元函数 {X(t, ω),(t, ω) ∈ R × Ω}。如果固定 ω，将得到一个以 t 为自变量的函数，这是随机过程X(t) 在一次实验中的“实现”，称该函数为随机过程 X(t) 的一条样本函数或样本轨道。另一方面，如果固定 t，那么将得到一个随机变量，设该随机变量的分布为 FX(t)(x)，称这个分布为随机过程 X(t) 的一维分布。

人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。

发展概况

1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。

1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。

1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。

1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。

1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；

60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。

随机过程的统计特征

对于随机过程{X (t); t∈T}，其统计特征有均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。它们的定义如下：

上述统计特征之间的关系为：

随机过程的分类

随机过程有两种分类方法，其依据分别为：（1）统计特征；（2）参数集和状态空间的特征。

按照统计特征分类

以统计特征进行分类，一般可分类以下一些：

按照参数集和状态空间的特征分类

参数集T可分为两类：（1）T可列；（2）T不可列。

状态空间S也可分为两类：（1）连续状态空间；（2）离散状态空间。

由此将随机过程分为以下四类:

特殊随机过程

对过程的概率结构作各种假设，便得到各类特殊的随机过程。

除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程，布朗运动和泊松过程，它们的结构比较简单，便于研究而应用又很广泛。从它们出发,可以构造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同，前者连续而后者则是上升的阶梯函数。

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