泊松过程

统计学概念

一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。

定义

Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松过程、布瓦松过程、布阿松过程、波以松过程、卜氏过程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：

在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。

在区间内发生的事件的数目的概率分布为：

其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变数呈现泊松分布，其参数为。

更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得

泊松过程是莱维过程（Lévy process）中最有名的过程之一。时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生-死亡过程的最简单例子。

泊松简介

泊松，法国数学家，1781年6月21日生于法国卢瓦

雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国索镇。

1798年入巴黎综合理工科学校深造。在毕业时，因优秀的研究论文而被指定为讲师。受到P.-S.拉普拉斯、J.-L.拉格朗日的赏识。1800年毕业后留校任教，1802年任副教授,1806年接替J.-B.-J.傅里叶任该校教授。1808年任法国经度局天文学家,1809年任巴黎理学院力学教授。1812年当选为巴黎科学院院士。

泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用。他工作的特色是应用数学方法研究各类力学和物理问题，并由此得到数学上的发现。他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。

性质

考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T1。此外，对于n>1，以Tn记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。序列{Tn,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。

名词解释

泊松过程用数学语言说，满足下列三条件的随机过程X={X(t),t≥0}叫做泊松过程。

①P(X(0)=0)=1。

②不相交区间上增量相互独立，即对一切0≤t1

③增量X(t)-X(s) (t>s）的概率分布为泊松分布，即，式中Λ（t）为非降非负函数。

④若X还满足X(t)-X(s）的分布仅依赖于t-s，则称X为齐次泊松过程；这时Λ（t)=λt，式中常数λ>0称为过程的强度，因为EX(t)=Λ(t)=λt，λ等于单位时间内事件的平均发生次数。非齐次泊松过程可通过时间尺度的变换变为齐次泊松过程。

对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左（或右）连续阶梯函数。可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。直观上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的累计次数就是一个泊松过程。在应用中很多场合都近似地满足这些条件。例如某系统在时段[0,t）内产生故障的次数，一真空管在加热t秒后阴极发射的电子总数，都可假定为泊松过程。

描述随机事件累计发生次数的过程通常称为计数过程（见点过程）。一个简单而且局部有限的计数过程{X(t），t≥0}，往往也可以用它依次发生跳跃（即发生随机事件）的时刻{Tn，n≥1}来规定，即取T0=0，Tn=inf{t:X(t）≥n}，n≥1，而当Tn泊松过程的充分必要条件为{τn，n≥1}是相互独立同分布的，且，其中λ为某一非负常数。齐次泊松过程的另一个特征是：固定t,X(t）是参数为λt的泊松分布随机变量，而当X(t)=k已知的条件下，X的k个跳跃时刻与 k个在[0,t）上均匀分布且相互独立的随机变量的次序统计量（见统计量）有相同的分布。泊松过程的这一特征常作为构造多指标泊松过程的出发点。从马尔可夫过程来看，齐次泊松过程是时间空间都为齐次的纯生马尔可夫链。从鞅来看，齐次泊松过程X是使{X(t)-λt,t≥0}为鞅的跃度为1的计数过程。

推广

较泊松过程稍为广泛的计数过程是更新过程，更新过程的跳跃时间间距是相互独立同分布的，但不一定是指数分布。这类过程常被用来描写某些设备的累计故障次数。若对跳跃时间间距不作任何假定，就成为一般的计数过程或称一维点过程。假如某设备在[0,t)时段内故障的累计次数N(t）是泊松过程，而每次故障造成的耗损不尽相同，用随机变量Yi表示第i次耗损，则在[0,t)内总的耗损为。当{N(t），t≥0}为齐次泊松过程，{Yi,i≥1}又是相互独立同分布且与{N(t）}独立时，X={X(t），t≥0}称为复合泊松过程。由于{N(t),t≥0}可以用其跳跃时刻{Ti,i≥1}来规定，因而复合泊松过程可用{(Tn,Yn),n≥1}来规定，即。若对{(Tn,Yn),n≥1}的统计特性不作任何假定，这样规定的X 便是一种一般地描述系统跳跃变化的随机过程，常称为标值点过程，也称多变点过程或跳跃过程。

泊松过程除作为计数过程的一种重要数学模型外，又是众多重要随机过程的特例。独立增量过程的莱维－伊藤分解表明，利用它还可构成一般的独立增量过程，因而它在随机过程中占有特殊地位，也有人把它与布朗运动一起称之为随机过程的基石。

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