传染病模型

传染病的基本数学模型

传染病的基本数学模型，研究传染病的传播速度、空间范围、传播途径、动力学机理等问题，以指导对传染病的有效地预防和控制。常见的传染病模型按照传染病类型分为 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型等，按照传播机理又分为基于常微分方程、偏微分方程、网络动力学的不同类型。

模型假设

一般把传染病流行范围内的人群分成如下几类：

1、S 类，易感者 (Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；

2、E 类，暴露者 (Exposed)，指接触过感染者，但暂无能力传染给其他人的人，对潜伏期长的传染病适用；

3、I 类，感病者 (Infectious)，指染上传染病的人，可以传播给 S 类成员，将其变为 E 类或 I 类成员；

4、R 类，康复者 (Recovered)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。如免疫期有限，R 类成员可以重新变为 S 类。

几种常见模型

SI 模型

将人群分为 S 类和 I 类，建立如下微分方程：

这里 β 为传染率。在疾病传播期内，所考察地区的总人数 S(t) + I(t) = K 保持不变。利用这一守恒关系得

这是一个逻辑斯谛模型。其指数增长率 r = βK 正比于总人数 K 和传染率 β。这个模型有两个主要结论：

（1）指数增长率 r 正比于总人数。当传染率 β 一定时，一定染病地区内的总人数 K 越多，传染病爆发的速度越快，说明了隔离的重要性；

（2）在 I = K/2 时，病人数目 I 增加得最快，是医院的门诊量最大的时候，医疗卫生部门要重点关注。

SIR 模型

SI 模型只考虑了传染病爆发和传播的过程。SIR模型进一步考虑了病人的康复过程。模型的微分方程为

总人数 S(t) + I(t) + R(t) = 常数N。这里假设病人康复后就获得了永久免疫，因而可以移出系统。对于致死性的传染病，死亡的病人也可以归入 R 类。因此 SIR 模型只有两个独立的动力学变量 I 和 S，它们的相轨迹满足

给定 t = 0 时刻的初条件 S = S0，随着 S 从 S0 开始单调递减，染病人数 I 在 S = γ / β 时达到峰值，随后一直回落，直到减为零。此时剩余一部分易感人群 S∞，而疾病波及到的总人数为 R∞，二者可由总人数守恒和相轨迹方程解出。

SIRS 模型

如果所研究的传染病为非致死性的，但康复后获得的免疫不能终身保持，则康复者 R 可能再次变为易感者 S。此时有

总人数 S(t) + I(t) + R(t) = N 为常数。参数 α 决定康复者获得免疫的平均保持时间。系统有两个不动点 S = N（I = R = 0）或 S = γ / β（I / R = α / γ）。前者表示疾病从研究地区消除，而后者则是流行状态。消除流行病的参数条件是 γ ＞ βN。若做不到，则要尽量减小 α 而增加 γ，使更多人保持对该疾病的免疫力。

SEIR 模型

如果所研究的传染病有一定的潜伏期，与病人接触过的健康人并不马上患病，而是成为病原体的携带者，归入 E 类。此时有

仍有守恒关系 S(t) + E(t) + I(t) + R(t) = 常数，病死者可归入 R 类。潜伏期康复率 γ1 和患者康复率 γ2 一般不同。潜伏期发展为患者的速率为 α。与 SIR 模型相比，SEIR 模型进一步考虑了与患者接触过的人中仅一部分具有传染性的因素，使疾病的传播周期更长。疾病最终的未影响人数 S∞ 和影响人数 R∞ 可通过数值模拟得到。

模型应用与推广

根据传染病的模型建立研究进而推广产生了传染病动力学模型。传染病动力学[1]是对进行理论性定量研究的一种重要方法，是根据种群生长的特性、疾病的发生及在种群内的传播、发展规律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型。通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟，来分析疾病的发展过程、揭示流行规律、预测变化趋势、分析疾病流行的原因和关键。对于 2003 年发生的 SARS 疫情，国内外学者建立了大量的动力学模型研究其传播规律和趋势，研究各种隔离预防措施的强度对控制流行的作用，为决策部门提供参考。有关 SARS 传播动力学研究多数采用的是 SIR 或 SEIR 模型。评价措施效果或拟合实际流行数据时，往往通过改变接触率和感染效率两个参数的值来实现。石耀霖[2]建立了 SARS 传播的系统动力学模型，以越南的数据为参考，进行了 Monte Carlo 实验。初步结果表明：感染率及其随时间的变化是影响 SARS 传播的最重要因素。蔡全才[3]建立了可定量评价 SARS 干预措施效果的传播动力学模型，并对北京的数据进行了较好的拟合。

参考文献：

[1]姜启源编辅导课程（九）主讲教师:邓磊

[2]西北工业大学（数学建模）精品课程

[3]耀霖.SARS传染扩散的动力学随机模型[J].科学通报,2003,48(13)1373-1377

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