伽利略变换

经典力学术语

伽利略变换是经典力学中用以在两个只以均速相对移动的参考系之间变换的方法，属于一种被动态变换。伽利略变换明显成立的公式在物体以接近光速运动时、亦或者是电磁过程不会成立，这是相对论效应造成的。

平移变换

伽利略变换建基于人们加减物体速度的直觉。在其核心，伽利略变换假设时间和空间是绝对的。

这项假设在洛伦兹变换中被舍弃，因此就算在相对论性速度下，洛伦兹变换也是成立的；而伽利略变换则是洛伦兹变换的低速近似值。

以下为伽利略变换的数学表达式，其中(x,y,z,t)和(x′,y′,z′,t′)分别为同一个事件在两个坐标系S和S'中的坐标。两个坐标系以相对均速运行（速度为v），运行方向为x和x′，原点在时间为t=t'=0时重合。

x'=x-vt；

z'=z；

t'=t。

最后一条方程式意味着时间是不受观测者的相对运动影响的。

利用线性代数的术语来说，这种变换是个错切，是矩阵对向量进行变换的一个过程。当参考系只沿着x轴移动时，伽利略变换只作用于两个分量：

虽然在伽利略变换中没有必要用到矩阵表达法，但是用了矩阵就可以和狭义相对论中的变换法进行比较。

三种伽利略变换

伽利略变换可以唯一写成由时空的旋转、平移和均速运动复合而成的函数。设x为三维空间中的一点，t为一维时间中的一点。时空当中的任何一点可以表达为有序对（x,t）。速度为v的均速运动表达为：

（X，t）→（X+tv，t），其中v在R3内。

平移表达为：

（X，t）→（X+a，t+b），其中a在R3内，b在R内。

旋转表达为：

（X，t）→（GX，t），其中G：R3 → R3为某正交变换。作为一个李群，伽利略变换的维度为10。

变换的局限

伽利略变换与牛顿的绝对时间、绝对空间的概念有关。这里所谓绝对是指长度的量度与时间的量度均与参考系的运动或参考系的选择无关。现代物理学中，电、磁、光学现象所符合的相对性原理与伽利略变换发生了尖锐的矛盾，因此在狭义相对论中修改了绝对时空的概念，空间和时间遵从洛伦兹变换。这时长度与时间的量度都与参考系的速度有关。不过在运动速度远小于光的速度时，洛伦兹变换近似等于伽利略变换。

伽利略群的中心扩张

这里我们只考虑伽利略群的李代数。结果能够轻易延伸到李群。L的李代数由H、Pi、Ci和Lij张成（反对称张量），并能够受交换子的作用，其中

H为时间平移的生成元（哈密顿算符），Pi为平移的生成元（动量算符），Ci为伽利略变换的生成元，而Lij为旋转的生成元（角动量算符）。

我们可以对H'、P'i、C'i、L'ij（反对称张量）、M所张成的李群进行中心扩张，使得M与一切都可交换（位于中心，“中心扩张”因此得名）：

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