伽辽金法

数值分析方法

伽辽金方法（Galerkin method）是由俄罗斯数学家鲍里斯·格里戈里耶维奇·伽辽金（俄文：Борис Григорьевич Галёркин）发明的一种数值分析方法。伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取有限多项式函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。

方法简介

伽辽金（Boris Galerkin）生于1871年3月4日，卒于1945年7月12日。前苏联工程师、数学家。1915年伽辽金发表了一篇论文，其中提出一种数值分析方法。应用这种方法可以通过方程所对应泛函的变分原理将求解微分方程问题简化成为线性方程组的求解问题。而一个多维（多变量）的线性方程组又可以通过线性代数方法简化，从而达到求解微分方程的目的。伽辽金法通过选取有限多项式探函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。作为一种试探函数选取形式，伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解，仅仅是加权平均满足原方程，并非在每个点上都满足。

方法特点

应用这种方法可以将求解微分方程问题（通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组的求解问题。而一个高维（多变量）的线性方程组又可以通过线性代数方法简化，从而达到求解微分方程的目的。

伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取有限多项势函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为势函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。

必须强调指出的是，作为加权余量法的一种势函数选取形式，伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解（仅仅是加权平均满足原方程，并非在每个点上都满足）。

表达

伽辽金法直接针对原控制方程采用积分的形式进行处理，它通常被认为是加权余量法的一种。这里先介绍加权余量法的一般性方程。考虑定义域为V的控制方程，其一般表达式为：Lu=P。精确解集u上的每一点都满足上述方程，如果我们寻找到一个近似解ū ，它必然带来一个误差ε（x），把它叫做残差，即：ε (x)=Lū-P。

近似方法要求残差经加权后他在整个区域中之和应为0，即：∫ v[ Wi· (Lū-P)]dV=0 ，其中i=1,2,...,n。选取不同的加权函数Wi会得到不同的近似方法。

对于伽辽金法来说，加权函数Wi一般称为形函数Φ（或试函数），Φ的形式为Φ=ΣΦi·Gi，其中，Gi（i=1,2,...,n）为基底函数（通常取为关于x,y,z的多项式），Φi为待求系数，这里将加权函数取为基底为Gi的线性组合。

另外，一般近似解ū的构造也是选取Gi为基底函数，即：ū=ΣQi·Gi，其中，Qi为待定系数。

综上可得伽辽金法的表达形式如下：

选择基底函数Gi，确定 ū=ΣQi·Gi中的系数Qi使得：∫ v[ Φ· (Lū-P)]dV=0，对于Φ=ΣΦi·Gi类型的每一个函数 Φ都成立，其中系数Φi为待定的，但需要满足Φ其次边界条件。求解出Qi之后，就能得到近似解ū。

理论基础

伽辽金法在力学中遵循的是虚功原理和流体力学中的虚功率原理。虚功原理即：对于满足理想约束的刚体体系上作用任何的平衡力系，假设体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移，则主动力在位移上所做的虚功总和恒为零（内虚功总等于外虚功）。虚功率原理类似于力学中的最小势能原理，流场外力所做的虚功率等于流场内应力及惯性力的虚功率。伽辽金法通常被认为是加权余量法的一种。加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设法使其最小的方法。

应用及优缺点

伽辽金法可广泛用于各种数学物理工程问题，特别是流体力学中的有限元方法，主要采用的就是伽辽金法或其改进方法。相对于瑞利-里兹法，两者虽然在某个特定的条件是等效的，但是伽辽金法是直接针对原始微分方程推导出来的，也适用于不能给出泛函（需对其求极小值）的那些问题，伽辽金法比瑞利-里兹法更有优势。但是应当注意的是，伽辽金法虽然具有精度高、适用性较广的优点，但是对它的数学原理研究还不是很清楚，收敛性的许多问题仍有待解决。

虽然有限元方法在流体力学中应用时主要采用的就是伽辽金法，但是对于某些流体力学问题，如对流扩散问题（由于对流扩散方程存在非线性的对流项）会经常因为有限元网格不恰当而造成有限元数值解的失真或振荡。对于这个缺陷，可以通过加密网格解决，但是这样会导致计算量大大增加，并不实用；此外Heinrich和Zienkiewicz等人于1977年提出采用迎风格式优化伽辽金法，从而在不增加计算量的基础上解决了这个问题。

另外伽辽金法及其一系列改进方法，如混合伽辽金法，最小二乘/伽辽金法等，都会产生非正定对称刚度矩阵，从而导致其方程组求解的计算量较大，所以至今未能大范围用于计算流体力学中。

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