位似形

具有特殊位置的相似形

几何变换是把一个几何图形按照某种法则或规律变成另一种图形的过程。因为几何图形都是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的。位似变换是一种几何变换。设O为平面上一定点，若某变换把平面上任意一点A变为直线OA上一点A′，并且|OA′|=k|OA|，k≠0，则称这种变换为平面到它自身的位似变换，O为位似中心，k为位似比或位似系数。

概念

位似形(homothetic figures)具有特殊位置的相似形。若两个图形F和F′的点之间可以建立一一对应关系，并且满足：

1.连结任一双对应点的直线都通过同一点O。

2.每双对应点均在点O的同侧(如图1)，或均在点O的异侧(如图2)。

3.对任一双对应点A和A′，有OA′/OA=k，

则称图形F和F′位似，或称图形F位似于图形F′，又称图形F和F′配景相似。图形F和F′称为位似图形或位似形，点O称为位似中心，对应点称为位似点，定比k称为“位似比”或位似系数，或位似率。当任一双对应点A，A′在点O的同侧，这时，图形F和F′称为顺位似图形，或称图形F和F′外位似，点O称为外位似中心，或外相似中心。这时规定位似比k>0。当任一双对应点A，A′在点O的两侧，这时图形F和F′称为逆位似，或称图形F和F′内位似，点O称为内位似中心，或内相似中心。这时规定位似比k<0。位似图形必为相似图形，但反过来不一定成立。两个位似图形必为真正相似图形。位似形是在位似变换下互相变换的图形。

几何变换

几何变换是把一个几何图形按照某种法则或规律变成另一种图形的过程。因为几何图形都是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的。例如，在平面几何中，作一个图形关于某一条直线对称的过程，就是一个几何变换，它把一个图形变成与原图形对称的图形。这个变换称为平面的反射变换。

把“几何”与“变换”联系起来，为用近代数学方法讨论几何问题开辟了广阔的前景.因此促进了几何学的发展。而且几何变换本身在绘图、力学、机械结构的设计、航空摄影测量、电路网络等方面都有广泛的应用。同时，由于几何变换体现了一种运动变化的思想，而在数学数育中培养学生运动变化的观点是一项重要内容，因此现代各国在中小学数学教学内容改革中，都注意增加几何变换的内容，或渗透几何变换的思想。

中学数学教学内容中涉及的几何变换，主要有合同变换(包括平移变换、旋转变换、反射变换)和相似变换。立体几何中的简单多面体变形属于拓扑变换。合同变换、相似变换、反演变换通常称为初等几何变换。在高等几何里，还要研究射影变换、仿射变换等。

相似变换

平面(空间)到其自身的一个映射，如果对于任意两点A，B及其象A’，B’，有A’B’=KAB(K>0)。把这个映射叫做平面(空间)的相似变换。当k=1时，相似变换就是合同变换。相似变换保持两直线所成角的大小不变，并且不改变图形的形状而改变其大小，两个相似的平面图形，其面积之比等于它们的相似比的平方。位似变换是相似变换的特殊情形。对于平面到其自身的一个映射，如果存在定点S及常数K (K≠0)，使得对于任意点M及其象M’满足：①S，M，M’三点共线;②SM’=(K)SM，把这种映射称为以S为位似垂中心，K为位似比的位似变换。当 K>0时，对应的两点在位似中心的同侧，称为顺位似，S称为外位似中心;当K<0时，对应的两点在位似中心的异侧，称为逆位似，S称为内位似中心。

位似变换

一种几何变换。设O为平面上一定点，若某变换把平面上任意一点A变为直线OA上一点A′，并且|OA′|=k|OA|，k≠0，则称这种变换为平面到它自身的位似变换，O为位似中心，k为位似比或位似系数。当k>0时，点A和A′位于直线OA上点O的同侧，称这种位似变换为正向位似变换，或顺位似变换，O为外位似中心；当k<0时，点A和A′在直线OA上点O的两侧，称这种位似变换为反向位似变换，或逆位似变换，O为内位似中心。

当k=1时，位似变换为恒等变换，当k=-1时，位似变换为以O为中心，旋转角为180°的旋转变换或中心对称变换。

若图形M上各点经过位似变换后得图形M′时，则称图形M位似于图形M′，或图形M与M′位似。当|k|>1时，图形被放大，当|k|<1时，图形被缩小。

位似变换是一种特殊位置的相似变换。

相似形

如果两个边数相同的多边形的对应角都相等，对应边都成比例，这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形的对应边的比叫做相似比或相似系数。相似比等于1的相似多边形就是全等多边形。平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形和原三角形相似。平行于三角形一边的直线和三角形其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。DE∥BC，则△ADE∽△ABC，FG∥BC，F、G分别是AB、AC延长线上的一点，则△ABC∽△AFG。如果一个三角形的两个角和另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等那么这两个三角形相似。如果一个三角形的3条边与另一个三角形的3条边对应成比例，则这两个三角形相似。如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么这两个直角三角形相似。如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于它们的相似比。相似多边形的周长的比等于它们的相似比，相似多边形的面积比等于它们相似比的平方。

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