佩尔方程

数学术语

佩尔方程，是一种不定二次方程。Pell方程，古希腊和印度的数学家对此类方程的研究做了最早的贡献，由费马首先进行了深入研究，拉格朗日给出了解决方案，但后此类方程来却被欧拉误记为佩尔提出，并写入他的著作中。后人多称佩尔方程沿续。

基本介绍

佩尔方程是一种不定二次方程。

古希腊数学家在计算2的平方根时，尝试使用了这类方程中的一个，婆罗摩笈多(Brahmagupta)对佩尔方程的研究进行了最早的贡献，佩尔方程和欧几里德算法一起使用，可计算一个正整数的平方根的近似值。由于欧拉最早把此类方程称为佩尔方程，所以就有了这个名词了。实际上，数学家费马深入研究了这类方程，拉格朗日给出了解决方案。所以在数学界，它也被称为“佩尔-费马方程”。

设d是正整数，且非平方数。

下面的不定方程称为佩尔（Pell）方程：

....(1)

(1)一定有无穷多组正整数解

这是初等数论中最经典的内容之一。

假设( )是①中使最小的正整数解（称(1)的基本解），那么①的所有的正整数解可写为

且不难导出,满足的线性递推关系

佩尔方程与连分数，二次型，代数数域等等都有密切联系。

在一般的函数域上，我们也有类似的佩尔方程，它和向量丛的稳定性有着微妙的关系。

以上的公式就是Pell方程的一般形态

佩尔方程通解

d不为完全平方数时存在无穷多个解。

解的存在性证明：

(1) 首先证明存在无穷多个正整数满足

记 = ，考察集合，显然对于任意正整数，均存在满足（事实上，此集合中每个元数都在(0,1)之内. 作区间、、、，那么当从0取到Q时，由抽屉原理即知）

于是，

即 .

让Q从小到大取遍所有正整数，就可得到无穷多组正整数。证毕。

(2) 其次对如上的我们有，

于是，这意味着只能取到有限个整数，因此必存在使得有无穷多解.

(3) 对于上述的无穷多组，由抽屉原理，必存在两组解与，满足， .

考虑

和，

将两式相乘可得

因为同余关系所以为整数，因为解与不同，所以可以推知,

那么就是Pell方程的一个解。命题得证。

第II型

定义

设d是正整数，且非平方数。

下面的不定方程称为第II型佩尔（Pell）方程：

x^2-dy^2=-1......②

第II型解

如果②有正整数解，设(a,b)是②的正整数解中使x+y√d最小的解（称(a,b)为②的基本解），则②的全部正整数解可以表示为：

x+y√d=(a+b√d)^(2n+1) （n为任意正整数）

而且记x0+y0√d=(a+b√d)^2，则(x0,y0)为①的基本解。

但判定方程②是否有正整数解是一件十分困难的事情。见下面的方法。

pell方程解

采用D的算术平方根的循环简单连分数，令a0=D的算术平方根,a(n+1)=1/(an-[an]),作数列bn=[an],则bn就是D的算术平方根的连分数的那些分母做成的数列，D^0.5=[b0,b1,b2,b3,......]请参考连分数词条，事实上，当D是非平方正整数时，D的平方根可以用循环简单连分数表示为[c0,c1,c2,...cm,2c0,c1,c2,...,2c0,...]，此时，若是m是奇数，则[c0,c1,c2,...cm]=x/y(化简为分子分母都是整数的普通分数后，且此时是最小解),而用前任意节循环节除去最后一个数2c0后得到的渐近分数都可以作为pell方程的解；若m是一个偶数，则pell方程的最小解需要用到前两节循环节除去最后的2c0,此时前1，3，5，...节循环节除去最后的2c0后得到的解将会是x^2-dy^2=-1的解，前2，4，6，...节循环节除去最后的2c0得到的都是pell方程的解。顺便提一下，当m是奇数的时候，x^2-dy^2=-1无正整数解。

解较大pell

92x^2+1=y^2，印度的婆什迦罗在他的文集中提到：能在一年内找出它的正整数解的人可以叫做数学家。而其实它的解并不大，婆什迦罗处理的都是特殊的pell方程，并未对一般情形做出证明，但是在中世纪，这已经是印度数学的最高成就，最小的x=120，y=1151，由(1151-120*1151^0.5)^n展开可以得到任意多组解（其实是所有解），其它的pell方程的通解也能这样得到。

271x^2+1=y^2,根号271的连分数到第一节循环节为止是[16,2,6,10,1,4,1,1,2,1,2,1,15,1,2,1,2,1,1,4,1,10,6,2,32],除去最后的32，得到最小的解为x=7044978537,而y=115974983600

d 小于等于100时，d=61时，x的最小解最大(x,y) = (1766319049,226153980)

d 小于等于1000时，d=661时，x的最小解最大(x,y) = (16421658242965910275055840472270471049, 638728478116949861246791167518480580)

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