例外若尔当代数

数学术语

若尔当代数(Jordan algebra)是20世纪30年代初由物理学家若尔当((Jordan,P.)引出来的，最初的目的是推广量子力学的公式。他们最初被称为“r阶数字系统”，但由Albert（1946年）更名为“若尔当代数”，他开始系统研究若尔当代数。

概念介绍

例外若尔当代数(exceptional Jordan algebra)与特殊若尔当代数相对照的一种若尔当代数。一个若尔当代数不是特殊的若尔当代数即称为例外若尔当代数。著名的例外若尔当代数的例子是在一个凯莱一迪克森代数C上定义一个对合，然后考虑C上某些3阶方阵所构成的一个集合H(C)，使得H(C)是若尔当代数，但它不是任何特殊若尔当代数的同态像。

若尔当代数

在抽象代数中，若尔当代数是一个不相关代数，其乘法满足以下公理： xy = yx; (xy)(xx)= x(y(xx))。

若尔当代数中的两个元素x和y的乘积也表示为x∘y，为了避免与相关关联代数的乘积混淆。

若尔当代数(Jordan algebra)是一种交换的非结合代数。它满足若尔当恒等式。所谓非结合代数满足若尔当恒等式，是指对它的任意元素x，y，恒有及。任何交换(结合)代数都是若尔当代数。特征数为0的域F上的任意有限维半单的若尔当代数恒可惟一地表为其单理想之直和。对于有限维若尔当代数，理想是可解的、幂零的和诣零的三条件等价。若尔当代数是20世纪30年代初由物理学家若尔当((Jordan,P.)引出来的，最初的目的是推广量子力学的公式。

特殊若尔当代数

特殊若尔当代数(special Jordan algebra)是一种特殊类型的若尔当代数。它与某个结合代数有关系。设B是域F上的一个结合代数，F的特征数不为2。于是，在线性空间B上规定：

x°y=(xy+yx)/2 (任意x，y∈B)，

则(B，+，°)是F上的一个若尔当代数，通常记为B+。域F上的非结合代数A，若同构于某个B+的子代数，则称A为特殊若尔当代数。

特殊若尔当代数实例

给定一个关联代数A，可以使用相同的底层加法向量空间来构造若尔当代数。请注意，当且仅当是交换代数时，关联代数才是若尔当代数。如果不可交换，我们可以在A上定义一个新的乘法，使其交换，实际上使它成为Jordan代数。新的乘法x∘y满足：

这定义了一个若尔当代数，我们称这些为若尔当代数，以及这些若尔当代数的任何次级代数，特殊若尔当代数。所有其他约旦代数被称为特殊的若尔当代数。 Shirshov-Cohn定理指出，任何具有两个发生器的若尔当代数是特殊的。与此相关，麦克唐纳定理指出，在每个特殊的若尔当代数中，三个变量中具有一个变量中的一个并且消失的三个变量中的任何多项式都消失。

Hermitian 若尔当代数

如果（A，σ）是具有回归σ的关联代数，则如果σ（x）= x和σ（y）= y，则遵循：

因此，通过归一化（有时称为隐性元素）固定的所有元素的集合形成的子代数，其有时表示为。

示例

1.一组自相关实数，复数或四元数矩阵满足如下乘法：

形成特殊的若尔当代数。

2.一组3×3自相关矩阵在八次数上，同样满足乘法：

是一个二维的，特殊的若尔当代数。这是阿尔伯特代数的第一个例子。

衍生和结构代数

约旦代数A的衍生形式是A的同态D，使得D（xy）= D（x）y + xD（y）。导数形成李代数der(A)。约旦身份意味着如果x和y是A的元素，那么将z代入到x(yz)-y(xz)的同态是推导。因此，A和der（A）的直接和可以形成一个称为A，str（A）的结构代数的李代数。

一个简单的例子由Hermitian Jordan代数H（A，σ）提供。在这种情况下，具有σ（x）= - x的A的任何元素x定义了导数。在许多重要的例子中，H（A，σ）的结构代数为A。

人物简介

若尔当是法国数学家。生于里昂，卒于巴黎。毕业于巴黎理工科大学，1861年获博士学位。1873—1921年任教于母校和法兰西学院，1881年当选为法国科学院院士。1895年当选为彼得堡科学院通讯院士。担任过《纯粹与应用数学》杂志编辑(1885—1921)。若尔当在代数学、分析学、函数论、拓扑学、集合论等方面都有较大的贡献。他运用组合论的观点探讨了多面体的对称性，对平面或n维空间的任意集合引入了外测度的概念;还建立了有界变差函数的概念，并证明这种函数可表为两个增函数的差;在代数学方面，他系统地发展了有限群论及伽罗华理论，证明了著名的“若尔当—赫尔德定理”的前半部。他最早开展了无限群的研究，首先用形如：

的线性变换来表示置换群。论证了所谓有限群定理，对于研究对称群的子群、复数域上一般线性群的有限子群等具有重要意义。利用相似矩阵和特征方程的概念，证明矩阵可化为标准型，现称为“若尔当标准型。若尔当的名著《论置换与代数方程》(Traité des substitutions et des équations algébriques)于1870年首版，在数学界产生了很大的影响，长期被作为群论中的权威著作。若尔当的《分析教程》(Coursd'analyse 1887)是19世纪的标准教科书。这本书给出曲线的“若尔当定义”：由连续函数x=f(t)，y=g(t)(t0≤t≤t1)表示的点集。并证明了拓扑学中的“若尔当定理”：一个简单闭曲线将平面分为内、外两部分。他的证明有缺陷，后来由维布伦补足(1905)。

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