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偏序关系

数学术语

偏序集合（英语：Partial order set，简写poset）是数学中，特别是序理论中，指配备了部分排序关系的集合。 这个理论将排序、顺序或排列这个集合的元素的直觉概念抽象化。这种排序不必然需要是全部的，就是说不必要保证此集合内的所有对象的相互可比较性。部分排序集合定义了部分排拓扑。

形式定义
设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：
Ⅰ 自反性：对任意x∈A，有xRx；
Ⅱ 反对称性（即反对称关系）：对任意x,y∈A，若xRy，且yRx，则x=y；
Ⅲ 传递性：对任意x, y,z∈A，若xRy，且yRz，则xRz。
则称R为A上的偏序关系，通常记作≼。注意这里的≼不必是指一般意义上的“小于或等于”。
若然有x≼y，我们也说x排在y前面（x precedes y）。
偏序分类
非严格偏序，自反偏序
给定集合S，“≤”是S上的二元关系，若“≤”满足：
则称“≤”是S上的非严格偏序或自反偏序。
严格偏序，反自反偏序
给定集合S，“<”是S上的二元关系，若“<”满足：
则称“<”是S上的严格偏序或反自反偏序。
严格偏序与有向无环图（dag）有直接的对应关系。一个集合上的严格偏序的关系图就是一个有向无环图。其传递闭包是它自己。
偏序相关结论
容易证明以下结论：
由上述可知，只要定义了“≤”、“<”、“≥”、“>”中的任何一个，其余三个关系的定义可以自然诱导而出，这四种关系实际上可以看成一体。故此在不严格区分的情况下，只需定义其一即可（通常是“≤”），称之为集合S上的偏序关系。（“偏序关系”通常被用来称呼非严格偏序关系。）
偏序集与序对偶关系
若集合S上定义了一个偏序，则S称为偏序集（poset）；若将其上的偏序关系改为其逆关系，得到的新偏序集S'称为S的序对偶。
虽然通常术语“有序集”用来称呼全序集，但当上下文中不涉及其他序关系时，“有序集”也可用于称呼偏序集。
例子
下面是一些主要的例子：
一般的说偏序集合的两个元素x和y可以处于四个相互排斥的关联中任何一个：要么xy，要么x和y是“不可比较”的（三个都不是）。全序集合是用规则排除第四种可能的集合：所有元素对都是可比较的，并且声称三分法成立。自然数、整数、有理数和实数都关于它们代数（有符号）大小是全序的，而复数不是。这不是说复数不能全序排序；比如我们可以按词典次序排序它们，通过x+iy
偏序的线性扩展
全序T是偏序P的线性扩展，只要x≤y在P中成立则x≤y在T中也成立。在计算机科学中，找到偏序的线性扩展的算法叫做拓扑排序。
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