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全序关系

数学概念

在数学中，集合 X 上的全序关系（Total order），简称全序、又名线性序（linear order）、简单序（simple order），或（非严格）排序（(non-strict) ordering），是在 X 上的反对称的、传递的和完全的任何二元关系。

定义
设集合X上有一全序关系，如果我们把这种关系用 ≤ 表述，则下列陈述对于 X 中的所有 a, b 和 c 成立：
配对了在其上相关的全序的集合叫做全序集合（totally ordered set）、线序集合（linearly ordered set）、简单序集合（simply ordered set）或链（chain）。链还常用来描述某个偏序的全序子集，比如在佐恩引理中。
关系的完全性可以如下这样描述：对于集合中的任何一对元素，在这个关系下都是相互可比较的。
注意完全性条件蕴涵了自反性，也就是说，a ≤ a。因此全序也是偏序（自反的、反对称的和传递的二元关系）。全序也可以定义为“全部”的偏序，就是满足“完全性”条件的偏序。
可作为选择的，可以定义全序集合为特殊种类的格，它对于集合中的所有 a, b 有如下性质：
我们规定 a ≤ b 当且仅当。可以证明全序集合是分配格。
全序集合形成了偏序集合的范畴的全子范畴，通过是关于这些次序的映射的态射a ≤ b 则 f(a) ≤ 。
在两个全序集合间的关于两个次序的双射是在这个范畴内的同构。
严格全序
对于每个(非严格)全序 ≤ 都有一个相关联的非对称(因此反自反)的叫做严格全序的关系 <，它可以等价地以两种方式定义：
性质：
我们可以其他方式工作，选择 < 为三分的二元关系；则全序 ≤ 可等价地以两种方式来定义:
还有两个关联的次序是补关系 ≥ 和 >，它们构成了四元组 {<, >, ≤, ≥}。
我们可以通过这四个关系中的任何一个，定义或解释集合全序的方式；由符号易知所谈论的是非严格的，抑或是严格全序。
全序关系与偏序关系
偏序和全序是公理集合论中的概念。首先需要知道什么是二元关系。比如实数中的“大小”关系，集合的集合中的“包含”关系就是两种二元关系。所谓偏序，即偏序关系，是一种二元关系。所谓全序，即全序关系，自然也是一种二元关系。全序是指，集合中的任两个元素之间都可以比较的关系。比如实数中的任两个数都可以比较大小，那么“大小”就是实数集的一个全序关系。偏序是指，集合中只有部分元素之间可以比较的关系。比如复数集中并不是所有的数都可以比较大小，那么“大小”就是复数集的一个偏序关系。显然，全序关系必是偏序关系。反之不成立。
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