佐恩引理

数学术语

佐恩引理（Zorn's Lemma）也被称为库拉托夫斯基-佐恩（Kuratowski-Zorn）引理，是集合论中一个重要的定理，其陈述为：

定义

设P为非空偏序集，若P中任何全序子集均在P中有上界，那么P至少存在一个极大元。

历史背景

佐恩引理是以数学家佐恩（Max Zorn）的名字命名的。

佐恩引理在1922年首先被库拉托夫斯基所发现，1935年佐恩亦独立地发现此结论。

解析

具体来说，假设(P, <)是一个偏序集，它的一个子集T称为是一个全序子集，如果对于任意的s, t ∈T，s < t或t < s二者中有且仅有一个成立。而T称为是有上界的，如果P中存在一个元素u，使得对于任意的t ∈T，都有t < u。在上述定义中，并不要求u一定是T中的元素。而一个元素m ∈T称为是最大的，如果x ∈T且x ≥ m，则必然有x = m。

佐恩引理，良序定理（well-ordering theorem）和选择公理（axiom of choice）彼此等价，在集合论的Zermelo-Fraenkel公理（Zermelo-Fraenkel axiom of set theory）基础上，上述三者中从任一出发均可推得另外两个。佐恩引理在数学的各个分支中都有重要地位，例如在证明泛函分析（Functional Analysis）的罕-巴那赫定理（Hahn-Banach Theorem）、断言任一向量空间必有基，拓扑学中证明紧空间的乘积空间仍为紧空间的Tychonoff定理，和抽象代数中证明任何环必然有极大理想和任何域必然有代数闭包的过程中，佐恩引理都起到了关键性作用。

应用举例

佐恩引理的一个典型应用是证明任何一个环R必然有极大理想。用P来表示R的所有真理想（即R的所有双边理想，且该理想是R的真子集）。在P中引入一个偏序，定义为集合的包含关系，那么P中必然有一个极大元素，并且这个元素是R的真子集，从而R有一个极大理想。

为了应用佐恩引理，需要证明P的任何一个全序子集T都有一个上界，即存在一个理想I满足I is subset of R并且I比T中任何一个元素都大，但I并非R本身。现取I为T中所有理想的并。可以证明，I是一个理想：如果a和b是I中的两个元素，那么必然存在T中两个理想J, K ∈T满足a ∈J, b ∈K。注意T是一个全序集，所以必然有J ∈ K或者K ∈ J，从而有a, b ∈J或a, b ∈K，无论是哪种情况，均有a + b ∈I。进一步，对于任何r ∈R, a ∈I都可以证明ar，ra ∈I。由此，I成为R的一个理想。

考虑证明的核心部分：利用I = R充要于1 ∈I，可以证明I一定是R的真子集。因为如果1 ∈I，那么必然有某个J ∈T满足1 ∈J，这意味着J = R，这与T的选取是矛盾的。

这样，利用佐恩引理，P必然包含一个最大元素，而这个元素就是R的一个极大理想。

注意这个结论只在R是单位环的时候成立，在R不是单位环的情形下，一般而言这个结论是不成立的。

证明

从选择公理证明佐恩引理的思路：

假设佐恩引理不成立，那么存在一个非空的偏序集，使得它的任何一个全序子集都有上界，但P中任何元素都不是极大元素。然后，对于任何一个全序子集T，可以定义一个相对应的元素b(T)，使其严格大于T的任意元素，因为T有一个上界，P中又必然存在一个元素严格大于这个上界。为了确实地定义函数b，我们需要用到选择公理。

利用函数b，可以构造 P的一个全序子集，这里作为下标的指标集不仅可以是自然数，也可以是序数。事实上，所有序数组成一个真类，粗略地说，可以认为序数的数目大于任何集合的基数，P也不例外。所以这个序列终会穷尽，这样就导出了矛盾。

上述的序列可以利用超限归纳法构造：可以选择为 P中任意元素，而对于任意一个序数 w，定义，注意av是全序的，所以aw的定义是合理的。

事实上这个证明的结论略强于佐恩引理：

如果P是一个偏序集，并且它的任何一个良序子集都有上界，那么对于 P的任意元素 x而言， P中有一个大于等于x的极大元。换言之，存在一个可以与x比较的极大元。

我们也可以直接应用选择公理证明佐恩引理：

根据选择公理，对于一个偏序集P的所有非空子集X在存在一个选择函数 f使得。从 P本身开始：考虑，如果是极大元素则终止，否则构造，这里，如果是极大元素则终止，否则用相同的技术构造。

于是我们获得了P一个全序子集：

根据假设上述全序子集是有上界的。如果上界是上述全序子集中的元素则终止，否则继续上述步骤，最终总能够穷尽P。

不过需要说明的是上述证明并没有阐明为何最终能够穷尽P，是一个不够严格的证明。见于 Lectures on the Hyperreals -- An Introduction to Nonstandard Analysis 一书。

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