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超限归纳法

超限归纳法

超限归纳法又称超穷归纳法、超限归纳证法，数学中用来证明某种类型命题的重要方法。

介绍
超限归纳法（transfinite induction）是数学归纳法向（大）良序集合比如基数或序数的集合的扩展。
超限归纳
假设只要对于所有的 β < α，P(β) 为真，则 P(α) 也为真。那么超限归纳告诉我们 P 对于所有序数为真。
就是说，如果 P(α) 为真只要 P(β) 对于所有 β < α 为真，则 P(α) 对于所有 α 为真。或者更实用的说：若要证明所有序数 α 都符合性质 P，你可以假定它对于所有更小的 β < α 已经是成立的。
通常证明被分为三种情况：
留意，以上三种情况(证明方法)都是相同的，只是所考虑的序数类型不同。正式来说不用分开考虑它们，但在实践时，因为它们的证明过程通常相差很大，所以需要分别表述。在一些情况下，“零情况”会被视为一种“极限情况”，因此可以使用极限序数来证明。
超限递归
超限递归是一种构造或定义某种对象的方法，它与超限归纳的概念密切相关。例如，可以定义以序数为下标的集合序列Aα，只要指定三个事项：
更形式的说，我们陈述超限递归定理如下。给定函数类G1,G2,G3，存在一个唯一的超限序列F带有 （ 是所有序数的真类），使得
，对于所有
，对于所有极限序数。这里的是指F在上的限制。
注意我们要求G1,G2,G3的定义域足够广阔来使上述性质有意义。所以满足这些性质的序列的唯一性可以使用超限归纳证明。
更一般的说，你可以在任何良基关系R上通过超限递归定义对象。（R甚至不需要是集合；它可以是真类，只要它是类似集合的关系便可，也就是说：对于任何x，使得yRx的所有y的搜集必定是集合。）
同选择公理的联系
有一个常见的误解是超限归纳法或超限递归法要求选择公理。其实超限归纳可以应用于任何良序集合。但是常见的情况是使用选择公理来良序排序一个集合，使其适用超限归纳法。
应用
超限归纳法是数学归纳法的形式之一，可以应用于（大的）良序集，比如说应用到序数或基数，甚至于所有有序的集。
超限归纳法可用于证明一个命题P在所有序数中成立：
基础：证明P(0)成立；
归纳：证明对于任何一个序数b，如果P(a)在所有序数a
后面一步常常分解为两种情况：
能应用和一般的归纳法相似的方法的后继序数（有直接前驱的序数），（P(a)蕴涵P(a+1)），
没有前驱的极限序数，因此不能用这种方法。
显然，极限序数可以通过将极限序数b看成所有小于b的序数的极限来处理：假定在所有的a并集公理实现），则证明了P(b)。
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