并集公理

数学术语

在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中，并集公理是Zermelo-Fraenkel集合论的公理之一。它声称对于任何集合A有一个集合B，它的元素完全是A的元素的元素。

定义

若x为集合，y为集合，则x∪y为集合。

概念

在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读作：给定任何集合A，有着一个集合B使得，给定任何集合x，x∈B，当且仅当有一个集合y使得x∈y并且y∈A。

数学定义：任给一个集合X，都有一个恰好由X的元素的元素之全体所组成的集合，即

特征

并集公理实际上说的是，给定集合A，我们可以找到一个集合B，它的元素完全是A的元素的元素。根据外延公理这个集合B是唯一的，它叫做A（中元素）的并集，并表示为∪A，所以这个公理的本质是：一个集合（中元素）的并集是一个集合。

配对公理与并集公理一起蕴涵了对于任何两个集合，都有一个集合恰好只包含这两个集合的元素。朴素集合论中两个集合的并集在这里是这两个集合的配对集合的并集，比如集合A={a}和集合B={b}，它们的对是{{a},{b}}，这个对的并集是{a,b}。

并集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价公理出现在所有的集合论的公理化中。

注意没有对应的交集公理。如果 A 是非空集合，则我们可以使用分离公理模式形成交集∩A，只需从A中选出一个元素（也可以取A的并集），而把P(z)设为“被A中所有集合包含”就行了，所以不需要单独的交集公理。(如果A是空集，则尝试如此形成A的交集是不被这些公理所允许的，如果这样的集合存在，它将包含全集中所有的集合，而全集的概念对立于Zermelo-Fraenkel集合论。)

策梅洛-弗伦克尔集合论

（1）同一律（外延公理）（axiom of extensionality）：两个集合相等的充分必要条件是它们具有相同的元素，即

。

（2）配对集公理（axiom of pairing）：任给两个集合X和Y，都有一个恰好由它们组成的集合，即

。

（3）并集公理（axiom of union）：任给一个集合X，都有一个恰好由X的元素的元素之全体所组成的集合，即

（4）幂集公理（axiom of power set）：任给一个集合X，都有一个恰好由它的子集合的全体组成的集合，即。

（5）无限集公理：存在一个满足如下两条要求（a）和（b）的集合X，

a、X含一个元素；

b、如果Y∈X，那么。其中即

。

（6）分解原理（asiom schema of separation）：即概括公理。

（7）映像存在原理（axiom schema of replacement）：设φ（x，y）是集合论语言的一个表达示。又设表达示φ（x，y）决定一种对应关系，也就是说，对于任意的集合 u ，最多存在一个集合v来满足φ[u，v]所给出的对应要求。任给集合 X ，能够与X中的某个元素 u 形成对应关系φ[u，v]的那些集合 v 组成一个集合 Y ，即

（8）∈极小原理（axiom of regularity，axiom of foundation）：任何一个非空集合必含有一个∈极小元素，也就是说，如果X中有一个元素，那么X中一定有一个元素都不在X之重的元素a，即

。

或者说，

注 (1) 上述的分解原理和映像存在原理实际上由无限多条公理组成，也就是说，给定一个表达式φ以上述原理就给出一条公理。

(2) 分解原理又称概括公理应当注意到这里的表达式并非朴素集合论的概括方式。

(3) ZF 理论的前 6 条公理都由德国数学家策梅洛（Zermelo）1908 年引入。

(4) 映像存在原理又称替换公理（置换公理），它由以色列数学家弗伦克尔（Fraenikel）1922 年引入。

(5) ∈ 极小原理又称正则公理，它由冯诺依曼（von Neumann）1925 年引入。

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