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幂集公理

数学术语

在数学中，幂集公理是公理化集合论的Zermelo-Fraenkel公理中的一个。这个公理说明：“对于任何一个集合A，存在着一个集合B，它的元恰是A的各个子集。

基本介绍
这个公理说明:“对于任何的x，存在着一个集合y，使y的元素是而且只会是x 的子集。”换句话说：给定任何集合x，有着一个集合P(x)，使得给定任何集合z，z 是P(x)的成员，当且仅当z 是x 的子集。通过外延公理可知，这个集合是唯一的。我们可以称集合P(x)为x的幂集。所以这个公理的本质是：所有集合都有一个幂集。幂集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价者出现在所有可替代的集合论的公理化中。幂集公理允许定义两个集合X和Y的笛卡儿积：
笛卡儿积为一个集合是因为
可以递归地定义集合的任何有限的搜集的笛卡儿积：
注意，在不包含幂集公理的克里普克—布莱特集合论中，笛卡儿积的存在性是可以证明的。
相关性质定理
由外延公理知，B是唯一的，并称B是A的幂集。因此有如下定义。
定义1集合B是集合A的一个幂集，当且仅当 的幂集 记作 ，便有
关于幂集的讨论，从有限集合的幂集开始。为此，先定义有限集合。
定义2对于一个集合A，如果存在自然数n，使得A恰有n 个元，则称A 是有限的。
定理1若A是一个有限集合，且 令 则C的所有子集的个数恰是A 的所有子集的个数的二倍。
证明：因为对于A的每个子集，可加入B和不加入B这个元，这样便得到C的所有子集，所以C的子集个数恰是A的子集个数的两倍。
定理2对于自然数n，如果集合A恰有个n元，则 恰有 个元。
证明：用:的归纳原理加以证明。对于n，设是命题：对任意集合A，若A有n个元，则有个元。本定理证明化为：也即要证：是个归纳集，因此，
①证令，则，即20=1故有成立。
②证设，且，即若A有k个元，则已知有2n个元。今证。设B有k+1个元的集合，C∈B且则A有k个元，故有个子集，由定理1知，有子集个数是的子集个数的二倍，即有个子集。
下面给出幂集的一般性质的定理。
定理3
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
下面讨论幂集与传递集的密切关系，首先给出如下定义。
定义3对于集合A中任何集合x和y，若 且 ，则 ，称A为传递集。
由定义可知， ，可见，要说明A是个传递集，只要用下面三种论述之一成立时，便可断定A是传递集：
① ，② ，③
因为它们都等价于 这个性质。
定理4对于传递集A，有 。
证明： 因为
定理5集合A是传递集当且仅当 。
定理6集合A是一个传递集当且仅当 是传递集。
定理7每个自然数是个传递集。
定理8集合 是个传递集。
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