傅里叶级数

数学术语

法国数学家傅里叶认为，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。

来源

法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。

从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

公式

给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：

（j为虚数单位）（1）

其中，可以按下式计算：

（2）

注意到；是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=1时具有基波频率，称为一次谐波或基波，类似的有

二次谐波，三次谐波等等。

性质

收敛性

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；

在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

奇偶性

奇函数，可以表示为正弦级数，而偶函数，则可以表示成余弦级数：

只要注意到欧拉公式：，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

广义傅里叶级数

类似于几何空间上矢量的正交分解，周期函数的傅里叶级数是在内积空间上函数的正交分解。其正交分解从基推广到Legendre（勒让特，1775-1837）多项式和Haar（哈尔，1885-1993）小波基等，称为广义傅里叶级数。

任何正交函数系，如果定义在[a,b]上的函数f(x）只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x）满足封闭性方程：

（4）

那么级数

（5）

必然收敛于f(x），其中：

（6）

事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：